Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения

[psilogic]

Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:

Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."

Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.


Вводим обозначения:

A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.

Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание

В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот

Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)

С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.

Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.

Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)

В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)

В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:

X = (Tr(Y) = false) (4)

Аналогично

Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)

В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)

В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:

Y = (Tr(X) = true) (6)

Сводим вместе формулы (4) и (6):

X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)

Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:

Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).

Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.

Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.

Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.

Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?

Comments

[(Anonymous)]

Умрёшь-невстанешь, вопрос здесь, а отвечают хде? :)) неужель
так страшно?...не могу найти объяснений этому....феномену...:))

А я вот целый день думаю, а что будет, если то же самое
написать не на обычной бумажке, а на ленте Мёбиуса, например?

[psilogic.livejournal.com]

а если на ленте М[!], тогда добавится еще и многозначность понятия "сторона"