Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[psilogic.livejournal.com]

Если верна система из двух утверждений, то верно первое утверждение отдельно, и далее рассуждаем как в тексте, в се равно приходим к парадоксу.

[3d6.livejournal.com]

Нет парадокса - утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" не нарушается. Свет действительно не горит, если это утверждение ложно. Другое дело, свет горит не всегда, когда это утверждение истинно - так и не должен, потому как система.

Слово "система" означает, что полное утверждение о выключателях выглядит так:

[(A1 and A2) => B] and [(!A1 or !A2) => !B]

Совершая любые преобразования с 1й частью мы получим необходимые условия, но не достаточные.

[psilogic.livejournal.com]

Почему утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" - ложно, расписано в исходном посте. Где у меня там ошибка?

[3d6.livejournal.com]

Ошибка в том, что вы анализируете выражение, которое НЕ описывает работу выключателей. Выражение, которое описывает работу выключателей, выглядит так, как я написал.
Очевидно, что делая преобразования выражения, которое НЕ описывает работу выключателей, получим другое выражение, которое НЕ описывает работу выключателей, и никакого противоречия тут нет, наоборот.

[psilogic.livejournal.com]

Что значит не описывает?

[3d6.livejournal.com]

То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. В то время как в системе с выключателями мы знаем, что !A1=>!B и !A2=>!B. Но об этом не сказано в выражении (A1 and A2) => B. То есть, это выражение не описывает систему из двух выключателей.

Фактически, выражение (A1 and A2) => B описывает систему лампочек на некоем НЛО: допустим, у нас есть две зеленых кнопки (А1 и А2), лампочка В, и красная кнопка С, при нажатии которой лампочка может загореться или погаснуть. И мы заметили, что если А1 и А2 нажаты, то при нажатии С лампочка загорается всегда, а если не нажата А1 или А2 - то может загореться, а может погаснуть.

[psilogic.livejournal.com]

[ То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. ]

А разве оно должно? Это высказывание, касающееся данного устройства. Оно не обязано описывать работу устройства во всех деталях. Например, другое высказывание: "В выключателе две кнопки" - будет истинным, хотя и не скажет _все_ об этом устройстве.

[3d6.livejournal.com]

Должно, иначе будет непонятна суть проблемы (если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику). Я вот только сейчас понял, в чем собственно вопрос, когда проанализировал свой пример с выключателями на НЛО.

Итак, суть проблемы - в алгебре логики высказывание "из А и В следует С" эквивалентно высказыванию "из А следует С или из В следует С". На самом деле это проблема не столько языка как такового, сколько автоматического анализа высказываний нашим интеллектом - при анализе сложных высказываний мы их максимально упрощаем на подсознательном уровне. Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное.
Эта проблема состоит из двух частей: во-первых, это интуитивное несоответствие слова "следует" операции =>. Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". Такое себе подсознательное кеширование результатов логичесих операций.

Слово "следует" можно заменить на слово "зюка", слово "или" - на конструкцию "одно из утверждений принимает значение true" - и все станет прозрачно.

[psilogic.livejournal.com]

[ если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику ]

Так здесь правильный вывод из правильного описания (именно вывод, а не повторение описания). Просто у вас что-то не срослось с пониманием :) Если пример с НЛО поможет, отлично.

[ Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное. ]

Именно поэтому при анализе я разбил его на две маленькие части, проанализировал каждую отдельно, потом применил операцию "или" к результатам анализа.

[ Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". ]

Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?

[3d6.livejournal.com]

[Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?]

Ну, если вы понимаете это высказывание не так, как я описал, а так, как следует из определений операций "следует" и "или" - то никакого парадокса, фраза "из включения кнопки 1 следует включение света ИЛИ из включения кнопки 2 следует включение света" абсолютно верная.

[psilogic.livejournal.com]

Я следую из "интуиции", что это такое, я написал :)

[3d6.livejournal.com]

Но "интуиция" в данном случае - это как раз такая оценка, как я привел. Интуитивно "А или В", где А и В - выражения содержащие импликацию, воспринимается как "А само по себе истинно или В само по себе истинно".

[psilogic.livejournal.com]

[ Интуитивно "А или В", где А и В - выражения содержащие импликацию, воспринимается как "А само по себе истинно или В само по себе истинно" ]

- если так, то я вас сначала не понял. Так - да. И как они - сами по себе истинны?

[3d6.livejournal.com]

Ну, вроде очевидно что нет, поэтому и возникает ощущение, что правительство нас обманывает :)

[psilogic.livejournal.com]

Ну, дык, а я о чем? Мы с вами о чем-то спорили, или мне показалось? :))

[3d6.livejournal.com]

*поправка только, не "из включения", а "из включенной"