Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[3d6.livejournal.com]

Но утверждение A1 and A2 => B не эквивалентно описанию выключателей - эквивалентна система из двух утверждений:
(A1 and A2) => B
(!A1 or !A2) => !B

[psilogic.livejournal.com]

Если верна система из двух утверждений, то верно первое утверждение отдельно, и далее рассуждаем как в тексте, в се равно приходим к парадоксу.

[3d6.livejournal.com]

Нет парадокса - утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" не нарушается. Свет действительно не горит, если это утверждение ложно. Другое дело, свет горит не всегда, когда это утверждение истинно - так и не должен, потому как система.

Слово "система" означает, что полное утверждение о выключателях выглядит так:

[(A1 and A2) => B] and [(!A1 or !A2) => !B]

Совершая любые преобразования с 1й частью мы получим необходимые условия, но не достаточные.

[psilogic.livejournal.com]

Почему утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" - ложно, расписано в исходном посте. Где у меня там ошибка?

[koshchey.livejournal.com]

Я отметился у falcao таким образом
Что можно сказать?
Что это фундаментальное построение не имеет никакого практического применения, если речь идёт о выключателях.
Есть смысл ставить 2 выключателя на одну люстру только в 2 случаях:
1. Каждых выключатель включает различный набор ламп. Тогда у нас появляются 4 возможных положения: выкл., посусвет1, полусвет2 и яркий свет. Здесь логическая операция включительное "или" ("v" - vuel, или программное "or").
2. Когда выключатели находятся в разных углах комнаты, чтоб любым из них можно было включить/выключить люстру. Чтоб свет горел - позиции выключателей должны быть разными: один в положении А, а другой в В, а если положения одинаковые, будь-то А или В, свет гореть не будет. Операция "Аnd not" здесь вполне достаточна.
3. И Вы в своём примере и я в своих, исходим из постулатов: а. что есть напряжение в сети, что проводка исправна и что лампочки в рабочем состоянии. Реальное моделирование, получается, тогда, более сложным.

[3d6.livejournal.com]

Ошибка в том, что вы анализируете выражение, которое НЕ описывает работу выключателей. Выражение, которое описывает работу выключателей, выглядит так, как я написал.
Очевидно, что делая преобразования выражения, которое НЕ описывает работу выключателей, получим другое выражение, которое НЕ описывает работу выключателей, и никакого противоречия тут нет, наоборот.

[evko.livejournal.com]

Это ошибка обратного перевода (интерпретации формулы), а не парадокс.

V5 и V4 не являются тождественно истинными высказываниями. Соответственно, предложенные переводы "интуитивно истинными" (т.е. истинными во всех случаях, какие придут в голову обывателя) не могут быть в принципе.

Правильный перевод высказывания, не претендующего на тождественную истинность мог бы быть таким: "Это высказывание верно, когда ... . В противном случае оно ложно."

Многоточие предлагаю устранить самостоятельно. Ну и вопрос об истинности полного перевода на русский язык V3 тогда отпадет сам собой.

[alexey-rom.livejournal.com]

Один выключатель может быть для всего электричества в квартире.

[koshchey.livejournal.com]

И, согласно нормам, такой ЕСТЬ в каждой квартире

[svr2004.livejournal.com]

Импликация это "если А, то B". У Вас же слово "если" включено в само утверждение А.

Попробуйте рассмотреть в случае, когда А1="включена кнопка А". Безо всяких "если" !!

[svr2004.livejournal.com]

То есть, А1="включена кнопка 1", а А2="включена кнопка 2"

[evko.livejournal.com]

Это несущественная опечатка, она не меняет сути. Суть же в смешении понятий истинности и тождественной истинности.

[psilogic.livejournal.com]

Что значит не описывает?

[psilogic.livejournal.com]

[ Это ошибка обратного перевода (интерпретации формулы), а не парадокс. ]

Ну это уже вопрос терминологии, что называть парадоксом :) В принципе согласен, глюк возникает именно в момент обратного перевода.

[psilogic.livejournal.com]

это очепятка, щас поправлю.

[3d6.livejournal.com]

То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. В то время как в системе с выключателями мы знаем, что !A1=>!B и !A2=>!B. Но об этом не сказано в выражении (A1 and A2) => B. То есть, это выражение не описывает систему из двух выключателей.

Фактически, выражение (A1 and A2) => B описывает систему лампочек на некоем НЛО: допустим, у нас есть две зеленых кнопки (А1 и А2), лампочка В, и красная кнопка С, при нажатии которой лампочка может загореться или погаснуть. И мы заметили, что если А1 и А2 нажаты, то при нажатии С лампочка загорается всегда, а если не нажата А1 или А2 - то может загореться, а может погаснуть.

[psilogic.livejournal.com]

[ То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. ]

А разве оно должно? Это высказывание, касающееся данного устройства. Оно не обязано описывать работу устройства во всех деталях. Например, другое высказывание: "В выключателе две кнопки" - будет истинным, хотя и не скажет _все_ об этом устройстве.

[morfizm.livejournal.com]

Хороший пример.

Мне кажется, настоящая причина не в том, что "если ... то ..." не всегда формализуется через материальную импликацию, а в том, какую именно информацию о системе даёт это утверждение (V1). Если для каждого из 4 состояний выключаетелей попробовать вывести заключение о том, горит ли лампочка или нет, то из данного V1 это можно сделать только в одном единственном случае: когда оба состояния включены. Когда хотя бы один выключен, горит ли лампочка - неизвестно, ибо V1 будет истинным в любом случае, не зависимо от её горения или негорения.

Таким образом, здесь нет никакого противоречия. Просто нужно быть внимательным и понимать, что V1 не определяет одну конкретную систему из выключателей и лампочек, а определяет лишь один аспект системы - или можно сказать, определяет целое множество таких систем: все системы, кроме той, в которой два выключателя будут включены, а лампочка гореть не будет.

[svr2004.livejournal.com]

Как обычно в таких "противоречиях" есть некоторая подтаовка. В данном примере это касается высказываний V4 и V5. Истинность V4 зависит от истинносити A2. Однако автор на голубом глазу заявлет, что оно ложно, прикрываясь фиговым листочком "с точки зрения интуиции".
То есть, "неизвестно" заменили словом "ложно". Это явное лукавство

[evko.livejournal.com]

Я бы не сказал, что такое уж это явное лукавство :) Ведь как правило формулы интерпретируют именно так, как предложил автор. То бишь весь мир лукавит? :)

Интерпретация формул вообще очень трудная задача (что бы кому ни показалось на первый взгляд) - столь же трудная, как и начальная формализация.

[psilogic.livejournal.com]

V1 - это текст на естественном языке, с ним все ясно. Может, вы имели в виду V2? Но V2 истинно, когда оба выключателя выключены (false) и свет горит (true).

[psilogic.livejournal.com]

А с точки зрения чего еще можно сделать заключение о соответствии между формулой и текстом?

[3d6.livejournal.com]

Должно, иначе будет непонятна суть проблемы (если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику). Я вот только сейчас понял, в чем собственно вопрос, когда проанализировал свой пример с выключателями на НЛО.

Итак, суть проблемы - в алгебре логики высказывание "из А и В следует С" эквивалентно высказыванию "из А следует С или из В следует С". На самом деле это проблема не столько языка как такового, сколько автоматического анализа высказываний нашим интеллектом - при анализе сложных высказываний мы их максимально упрощаем на подсознательном уровне. Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное.
Эта проблема состоит из двух частей: во-первых, это интуитивное несоответствие слова "следует" операции =>. Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". Такое себе подсознательное кеширование результатов логичесих операций.

Слово "следует" можно заменить на слово "зюка", слово "или" - на конструкцию "одно из утверждений принимает значение true" - и все станет прозрачно.

[psilogic.livejournal.com]

[ если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику ]

Так здесь правильный вывод из правильного описания (именно вывод, а не повторение описания). Просто у вас что-то не срослось с пониманием :) Если пример с НЛО поможет, отлично.

[ Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное. ]

Именно поэтому при анализе я разбил его на две маленькие части, проанализировал каждую отдельно, потом применил операцию "или" к результатам анализа.

[ Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". ]

Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?

[3d6.livejournal.com]

[Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?]

Ну, если вы понимаете это высказывание не так, как я описал, а так, как следует из определений операций "следует" и "или" - то никакого парадокса, фраза "из включения кнопки 1 следует включение света ИЛИ из включения кнопки 2 следует включение света" абсолютно верная.