Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[3d6.livejournal.com]

Но утверждение A1 and A2 => B не эквивалентно описанию выключателей - эквивалентна система из двух утверждений:
(A1 and A2) => B
(!A1 or !A2) => !B

[psilogic.livejournal.com]

Если верна система из двух утверждений, то верно первое утверждение отдельно, и далее рассуждаем как в тексте, в се равно приходим к парадоксу.

[3d6.livejournal.com]

Нет парадокса - утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" не нарушается. Свет действительно не горит, если это утверждение ложно. Другое дело, свет горит не всегда, когда это утверждение истинно - так и не должен, потому как система.

Слово "система" означает, что полное утверждение о выключателях выглядит так:

[(A1 and A2) => B] and [(!A1 or !A2) => !B]

Совершая любые преобразования с 1й частью мы получим необходимые условия, но не достаточные.

[psilogic.livejournal.com]

Почему утверждение "Если включена кнопка 1, то свет горит OR Если включена кнопка 2, то свет горит" - ложно, расписано в исходном посте. Где у меня там ошибка?

[3d6.livejournal.com]

Ошибка в том, что вы анализируете выражение, которое НЕ описывает работу выключателей. Выражение, которое описывает работу выключателей, выглядит так, как я написал.
Очевидно, что делая преобразования выражения, которое НЕ описывает работу выключателей, получим другое выражение, которое НЕ описывает работу выключателей, и никакого противоречия тут нет, наоборот.

[koshchey.livejournal.com]

Я отметился у falcao таким образом
Что можно сказать?
Что это фундаментальное построение не имеет никакого практического применения, если речь идёт о выключателях.
Есть смысл ставить 2 выключателя на одну люстру только в 2 случаях:
1. Каждых выключатель включает различный набор ламп. Тогда у нас появляются 4 возможных положения: выкл., посусвет1, полусвет2 и яркий свет. Здесь логическая операция включительное "или" ("v" - vuel, или программное "or").
2. Когда выключатели находятся в разных углах комнаты, чтоб любым из них можно было включить/выключить люстру. Чтоб свет горел - позиции выключателей должны быть разными: один в положении А, а другой в В, а если положения одинаковые, будь-то А или В, свет гореть не будет. Операция "Аnd not" здесь вполне достаточна.
3. И Вы в своём примере и я в своих, исходим из постулатов: а. что есть напряжение в сети, что проводка исправна и что лампочки в рабочем состоянии. Реальное моделирование, получается, тогда, более сложным.

[alexey-rom.livejournal.com]

Один выключатель может быть для всего электричества в квартире.

[koshchey.livejournal.com]

И, согласно нормам, такой ЕСТЬ в каждой квартире

[evko.livejournal.com]

Это ошибка обратного перевода (интерпретации формулы), а не парадокс.

V5 и V4 не являются тождественно истинными высказываниями. Соответственно, предложенные переводы "интуитивно истинными" (т.е. истинными во всех случаях, какие придут в голову обывателя) не могут быть в принципе.

Правильный перевод высказывания, не претендующего на тождественную истинность мог бы быть таким: "Это высказывание верно, когда ... . В противном случае оно ложно."

Многоточие предлагаю устранить самостоятельно. Ну и вопрос об истинности полного перевода на русский язык V3 тогда отпадет сам собой.

[psilogic.livejournal.com]

[ Это ошибка обратного перевода (интерпретации формулы), а не парадокс. ]

Ну это уже вопрос терминологии, что называть парадоксом :) В принципе согласен, глюк возникает именно в момент обратного перевода.

[svr2004.livejournal.com]

Импликация это "если А, то B". У Вас же слово "если" включено в само утверждение А.

Попробуйте рассмотреть в случае, когда А1="включена кнопка А". Безо всяких "если" !!

[svr2004.livejournal.com]

То есть, А1="включена кнопка 1", а А2="включена кнопка 2"

[evko.livejournal.com]

Это несущественная опечатка, она не меняет сути. Суть же в смешении понятий истинности и тождественной истинности.

[svr2004.livejournal.com]

Как обычно в таких "противоречиях" есть некоторая подтаовка. В данном примере это касается высказываний V4 и V5. Истинность V4 зависит от истинносити A2. Однако автор на голубом глазу заявлет, что оно ложно, прикрываясь фиговым листочком "с точки зрения интуиции".
То есть, "неизвестно" заменили словом "ложно". Это явное лукавство

[psilogic.livejournal.com]

это очепятка, щас поправлю.

[morfizm.livejournal.com]

Хороший пример.

Мне кажется, настоящая причина не в том, что "если ... то ..." не всегда формализуется через материальную импликацию, а в том, какую именно информацию о системе даёт это утверждение (V1). Если для каждого из 4 состояний выключаетелей попробовать вывести заключение о том, горит ли лампочка или нет, то из данного V1 это можно сделать только в одном единственном случае: когда оба состояния включены. Когда хотя бы один выключен, горит ли лампочка - неизвестно, ибо V1 будет истинным в любом случае, не зависимо от её горения или негорения.

Таким образом, здесь нет никакого противоречия. Просто нужно быть внимательным и понимать, что V1 не определяет одну конкретную систему из выключателей и лампочек, а определяет лишь один аспект системы - или можно сказать, определяет целое множество таких систем: все системы, кроме той, в которой два выключателя будут включены, а лампочка гореть не будет.

[psilogic.livejournal.com]

V1 - это текст на естественном языке, с ним все ясно. Может, вы имели в виду V2? Но V2 истинно, когда оба выключателя выключены (false) и свет горит (true).

[morfizm.livejournal.com]

Я имел в виду именно V1. Я считаю, что V1 и V2 эквивалентны, а V1 не идентифицирует схему выключателя. Чтобы точно рассказать о том, как работает выключатель, надо сказать полной фразой: "Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть."

[psilogic.livejournal.com]

Логически из этого все равно выводится V2.

[evko.livejournal.com]

Что интересно: формализация проводилась для конкретного момента времени и для конкретной цепи. Т.е. любые выводы из этой формализации возможны только для конкретного момента времени и для конкретной цепи лампочек-выключаталей :)

Другими словами, истинность выводов должна проверяться не "вообще", а при заданных значениях булевых переменных. Тогда в ситуации с негорящей лампочкой и выключенными кнопками интерпретация интуитивного "Если включена кнопка Х, то свет горит" вполне однозначна - мы не знаем, истинно ли это утверждение, т.к. в данной ситуации оно непроверяемо.

Чтобы иметь право на рассуждение "вообще", т.е. говорить о взаимосвязи между состоянием выключателей и лампочки в отрыве от конкретных значений, то нужно переходить к логике с кванторами (для простоты предикаты, проверяющие тип подкванторных переменных, я опустил):

ForAll(ЦЕПЬ из множества интересующих нас): 
  (ForAll(КНОПКА1, КНОПКА2, ЛАМПА из элементов, принадлежащих ЦЕПЬ): 
     (НеРавны(КНОПКА1,КНОПКА2) И Включена(КНОПКА1) И (Включена(КНОПКА2)) =>
         Горит(ЛАМПА))

Тогда все становится на свои места и независимая друг от друга интерпретация V4 и V5 становится невозможной, т.к. пронести внешний квантор внутрь формулы нельзя - это не будет эквивалентным преобразованием.

[evko.livejournal.com]

Немного намудрил со скобками, но суть, надеюсь, понятна :)

[evko.livejournal.com]

Кстати! Только сейчас заметил, что в итоге получилась хорновская формула. А значит, и классическое и интуиционистское ее прочтения будут совпадать.

[psilogic.livejournal.com]

Это получилось что-то типа "интерпретации возможных миров" для модальной логики. Именно так там предлагается решать некоторые парадоксы импликации. Но афтар ЖЖ, на который я сослался, хочет все уложить в классику :)

[evko.livejournal.com]

По-моему, я как раз дал формулу в классической логике предикатов первого (кванторы только по базовым типам) порядка :)
Или под "классикой" тут понимается только исчисление высказываний?

[psilogic.livejournal.com]

Под классикой я имел в виду перевод
если x то y
одиночной импликацией
x => y

в модальной логике (вернее, в одной из...) перевод примерно как у вас:
если x то y
переводится как
∀ w (x(w) => y(w))

где область определения w - все "возможные миры", проще говоря, все возможные ситуации, а x(w), y(w) - истинность x или y в конкретной ситуации (мире) w.