Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[3d6.livejournal.com]

Ошибка в том, что вы анализируете выражение, которое НЕ описывает работу выключателей. Выражение, которое описывает работу выключателей, выглядит так, как я написал.
Очевидно, что делая преобразования выражения, которое НЕ описывает работу выключателей, получим другое выражение, которое НЕ описывает работу выключателей, и никакого противоречия тут нет, наоборот.

[psilogic.livejournal.com]

Что значит не описывает?

[3d6.livejournal.com]

То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. В то время как в системе с выключателями мы знаем, что !A1=>!B и !A2=>!B. Но об этом не сказано в выражении (A1 and A2) => B. То есть, это выражение не описывает систему из двух выключателей.

Фактически, выражение (A1 and A2) => B описывает систему лампочек на некоем НЛО: допустим, у нас есть две зеленых кнопки (А1 и А2), лампочка В, и красная кнопка С, при нажатии которой лампочка может загореться или погаснуть. И мы заметили, что если А1 и А2 нажаты, то при нажатии С лампочка загорается всегда, а если не нажата А1 или А2 - то может загореться, а может погаснуть.

[psilogic.livejournal.com]

[ То и значит, смотрите таблицу истинности: (A1 and A2) => B ничего не говорит о состоянии В когда А1 или А2 выключены. ]

А разве оно должно? Это высказывание, касающееся данного устройства. Оно не обязано описывать работу устройства во всех деталях. Например, другое высказывание: "В выключателе две кнопки" - будет истинным, хотя и не скажет _все_ об этом устройстве.

[3d6.livejournal.com]

Должно, иначе будет непонятна суть проблемы (если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику). Я вот только сейчас понял, в чем собственно вопрос, когда проанализировал свой пример с выключателями на НЛО.

Итак, суть проблемы - в алгебре логики высказывание "из А и В следует С" эквивалентно высказыванию "из А следует С или из В следует С". На самом деле это проблема не столько языка как такового, сколько автоматического анализа высказываний нашим интеллектом - при анализе сложных высказываний мы их максимально упрощаем на подсознательном уровне. Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное.
Эта проблема состоит из двух частей: во-первых, это интуитивное несоответствие слова "следует" операции =>. Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". Такое себе подсознательное кеширование результатов логичесих операций.

Слово "следует" можно заменить на слово "зюка", слово "или" - на конструкцию "одно из утверждений принимает значение true" - и все станет прозрачно.

[psilogic.livejournal.com]

[ если я вижу неправильный вывод из неправильного описания - то естественно я виню описание, а не логику ]

Так здесь правильный вывод из правильного описания (именно вывод, а не повторение описания). Просто у вас что-то не срослось с пониманием :) Если пример с НЛО поможет, отлично.

[ Интеллект не воспринимает высказывание "из А следует С или из В следует С" как единое целое в виду того, что оно слишком сложное. ]

Именно поэтому при анализе я разбил его на две маленькие части, проанализировал каждую отдельно, потом применил операцию "или" к результатам анализа.

[ Интуитивно, слово "следует" обрабатывается как операция "эквивалентно". Во-вторых, высказывание "А или В" интуитивно обрабатывается не как А OR В, а как "А всегда = 1" OR "B всегда = 1". ]

Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?

[3d6.livejournal.com]

[Это вы каких-то дебилов описываете. А что можно сказать о недебилах?]

Ну, если вы понимаете это высказывание не так, как я описал, а так, как следует из определений операций "следует" и "или" - то никакого парадокса, фраза "из включения кнопки 1 следует включение света ИЛИ из включения кнопки 2 следует включение света" абсолютно верная.

[psilogic.livejournal.com]

Я следую из "интуиции", что это такое, я написал :)

[3d6.livejournal.com]

Но "интуиция" в данном случае - это как раз такая оценка, как я привел. Интуитивно "А или В", где А и В - выражения содержащие импликацию, воспринимается как "А само по себе истинно или В само по себе истинно".

[psilogic.livejournal.com]

[ Интуитивно "А или В", где А и В - выражения содержащие импликацию, воспринимается как "А само по себе истинно или В само по себе истинно" ]

- если так, то я вас сначала не понял. Так - да. И как они - сами по себе истинны?

[3d6.livejournal.com]

Ну, вроде очевидно что нет, поэтому и возникает ощущение, что правительство нас обманывает :)

[psilogic.livejournal.com]

Ну, дык, а я о чем? Мы с вами о чем-то спорили, или мне показалось? :))

[3d6.livejournal.com]

*поправка только, не "из включения", а "из включенной"