Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[psilogic.livejournal.com]

Это получилось что-то типа "интерпретации возможных миров" для модальной логики. Именно так там предлагается решать некоторые парадоксы импликации. Но афтар ЖЖ, на который я сослался, хочет все уложить в классику :)

[evko.livejournal.com]

По-моему, я как раз дал формулу в классической логике предикатов первого (кванторы только по базовым типам) порядка :)
Или под "классикой" тут понимается только исчисление высказываний?

[psilogic.livejournal.com]

Под классикой я имел в виду перевод
если x то y
одиночной импликацией
x => y

в модальной логике (вернее, в одной из...) перевод примерно как у вас:
если x то y
переводится как
∀ w (x(w) => y(w))

где область определения w - все "возможные миры", проще говоря, все возможные ситуации, а x(w), y(w) - истинность x или y в конкретной ситуации (мире) w.

[evko.livejournal.com]

Ну, можно конечно и так... Но, опять же, на мой вкус, считать каждую реализацию цепи из двух выключателей и лампочки за отдельный возможный мир - как-то черезчур :)

Нам достаточно в качестве универса принять множество всех электрических цепей, объединенное с множеством всех элементов цепей. Тогда для описания хватит классических первопорядковых кванторов по элементам универса, что, собственно я и попытался показать...

Мне кажется, корень проблемы тут в том, что при формализации высказываний естественного языка почему-то не хотят пользоваться предикатами и навешивать на них кванторы (уже много где сталкивался с таким подходом).

Мы же рассматриваем пример, где структура формализуемой системы не меняется со временем и нам не надо учитывать изменения состояний системы - для таких задач классическая логика предикатов более чем достаточна. Только рассматривать логику предикатов без кванторов, это все равно, что арифметику без аксиомы индукции :)

[psilogic.livejournal.com]

"Но, опять же, на мой вкус, считать каждую реализацию цепи из двух выключателей и лампочки за отдельный возможный мир - как-то черезчур :)"

Именно! У меня такое же ощущение. Интерпретация выглядит как-то напыщенно-глупо. Но можно просто чуть-чуть изменить слова. Не "возможные миры", а "возможные случаи" или "возможные ситуации". В данном примере частный случай - "возможные цепи".

Надо будет напейсать отдельный пост, показать как оно работает.

[evko.livejournal.com]

>> отдельный пост, показать как оно работает.
Не совсем понял, "оно" - это кто? :)

Если вдруг что, вот точная формализация в классической логике предикатов первого порядка:

ForAll (room,key1,key2,lamp):
(
  (ЭтоКомната(room) & 
  ЭтоЛампа(lamp) &
  ЭтоВыключатель(key1) &
  ЭтоВыключатель(key2) &
  Различны(key1,key2) &
  НаходитсяВнутри(room,lamp) &
  НаходитсяВнутри(room,key1) &
  НаходитсяВнутри(room,key2))
  =>
  (Включен(key1) & Включен(key2) => Горит(lamp))
)