Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[morfizm.livejournal.com]

Ещё одна мысль.

"Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно."

Мне кажется, основная логическая ошибка заключается в том, какой смысл человек вкладывает в слово "истинность" или "ложность".

1. Интуитивно - человек будет брать исходное описание лампочки ("Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.") и проверять его на эквивалентность со всеми этими утверждениями (V1, V2, V3, V4, V5), и говорить "утверждение ложно", если оно не эквивалентно. У многих людей эта проверка на эквивалентность страдает по отношению к V1, т.к. они подрадумевают, будто бы добавлено: ", а в остальных случаях лампочка не горит". Внимательные и осторожные люди, отучившиеся на физмате или на юрфаке, никогда не будут мысленно добавлять того, что написано или сказано не было, поэтому подобной проблемы у них не будет.

2. Если под ложностью или истинностью логической формулы понимать эквивалентность её с каким-то шаблоном, то из "ложности" двух отдельных утверждений совсем не следует "ложность" их дизъюнкции. (В частности, нельзя сделать вывод, что если V4 ложно и V5 ложно, то V3 будет тоже ложно).

[psilogic.livejournal.com]

2. может все-таки следует? :) Если A ложно и B ложно, то A или B ложно... или двойка на любом физмате или юрфаке :))))