Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[psilogic.livejournal.com]

[ [ А с точки зрения чего еще можно сделать заключение о соответствии между формулой и текстом? ]]

[ Например, с той точки зрения, которой Вы руководствовались, когда получали формулу V3. ]

Я получил формулу V3 из формулы V2. Текста там не было, только формула из формулы. Зато переход от V1 к V2 - это переход от текста к формуле. V4 и V5 демонстрируют переход от формул к тексту. Переходу от текста к формуле или от формулы к тексту возможны только на основе интуиции (или предложите другой критерий). Интуиция - это не то, что в голову взбредет, я это понятие "определил" в тексте: точка зрения интуиции - это предполагаемая оценка текста большинством носителей русского языка. Т.е. утверждение о том, что нечто интуитивно верно, может быть проверено экспериментально.

[svr2004.livejournal.com]

Вы меняете точку зрения во время последовательных рассуждений: сначала рассматриваете с точки зрения интуиции, потом - с точки зрения формальной логики, потом - опять с точки зрения интуиции.

И в конце удивляетесь, что у Вас получается черти-что

[psilogic.livejournal.com]

Нет, я не меняю точку зрения, а меняю язык по ходу рассуждений:

обычный язык -> формула -> формула -> формула -> обычный язык

Такой подход в случае арифметики вовсе не дает черти-что, а в случае импликации - дает.

[svr2004.livejournal.com]

Это уже похоже на препирательства – и становится скучным.

Вот Ваши фразы:
"Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции"

Далее: "Используя преобразования алгебры логики . . ." – это явныее рассуждения с точки зрения формальной логики.

Потом опять: "Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции."

А между прочим вот как раз с точки зрения формальной логики про истинность высказывания V4 сказать ничего нельзя, так как при истинном А2 оно истинно, а при ложном А2 – оно ложно.

И напоследок: "Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность ... "

Так что как в известном анекдоте: либо трусы наденьте, либо крестик снимите :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Это уже похоже на препирательства – и становится скучным. ]

Мне пока интересно, но я вас не заставляю тоже сохранять интерес :)

[ Вот Ваши фразы:... Далее: "... Потом опять: ]

Это и есть схема, которую я вам написал:

обычный язык -> формула -> формула ->
> формула -> обычный язык

Что такого анекдотического в этой схеме?

Похожий пример:

Деньги в кошельке -> числа в голове -> числа в голове -> числа в голове -> деньги в кошельке

Процесс подсчета сдачи в магазине. Это анекдот? :)