Очередной парадокс импликации

[psilogic]

Обсуждение очередного парадокса материальной импликации происходит там

Чтобы желающие могли понять суть и поучаствовать в обсуждении без разгребания множества комментов, я здесь кратко (собирался кратко :))) изложу проблему и наиболее острый (как мне кажется) момент.

Пусть у нас есть выключатель света с кнопками 1 и 2. Чтобы включить свет, надо включить оба выключателя. То есть, схема вот такая:

    1   2
+___/___/___-

Когда ни одна кнопка не включена, света нет, когда включена только одна, света тоже нет, когда включены обе, свет есть.

Рассматривается утверждение:

V1 = "Если включена кнопка 1 и включена кнопка 2, то свет горит"

(формулировка намеренно в настоящем времени - "включены", "горит", чтобы не заморачиваться на "временнУю" логику).

Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции (здесь и далее я буду ссылаться на "точку зрения интуиции", имея в виду предполагаемую оценку текста большинством носителей русского языка).

Обозначения
A1 = "Включена кнопка 1"
A2 = "Включена кнопка 2"
B = "Свет горит"

Если попытаться формализовать (V1) через материальную импликацию, то получится:

V2 = A1 and A2 => B

Это высказывание истинно с точки зрения булевой алгебры. Если есть сомнения, то для проверки достаточно произвести перебор всех 4 возможных состояний кнопок. Таблица истинности для материальной импликации:

X	Y	X => Y
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

(из описания выключателя можно получить и другую формулу: A1 & A2 <=> B, однако формула (V2) следует из нее, и, продолжая, рассуждения далее, приходим к тому же)

Используя преобразования алгебры логики, из (V2) получается:

V3 = (A1 => B) or (A2 => B)

Выполняем обратное преобразование из материальной импликации в текст:

V4 = (A1 => B) = "Если включена кнопка 1, то свет горит".

Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции.

V5 = (A2 => B) = "Если включена кнопка 2, то свет горит".

Даже если кнопка 2 включена, неизвестно состояние кнопки 1. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V5) ложно с точки зрения интуиции.

V3 = V4 or V5

Поскольку (V4) и (V5) ложны с точки зрения интуиции, то высказывание (V3) тоже ложно.

Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность, что и V2, то есть, истинно.

Противоречие.

Источник противоречия - попытка формализовать конструкции русского языка "если ... то ..." через материальную импликацию. С английским те же проблемы.

Comments

[svr2004.livejournal.com]

То есть, А1="включена кнопка 1", а А2="включена кнопка 2"

[evko.livejournal.com]

Это несущественная опечатка, она не меняет сути. Суть же в смешении понятий истинности и тождественной истинности.

[svr2004.livejournal.com]

Как обычно в таких "противоречиях" есть некоторая подтаовка. В данном примере это касается высказываний V4 и V5. Истинность V4 зависит от истинносити A2. Однако автор на голубом глазу заявлет, что оно ложно, прикрываясь фиговым листочком "с точки зрения интуиции".
То есть, "неизвестно" заменили словом "ложно". Это явное лукавство

[evko.livejournal.com]

Я бы не сказал, что такое уж это явное лукавство :) Ведь как правило формулы интерпретируют именно так, как предложил автор. То бишь весь мир лукавит? :)

Интерпретация формул вообще очень трудная задача (что бы кому ни показалось на первый взгляд) - столь же трудная, как и начальная формализация.

[svr2004.livejournal.com]

Любая интерпретация точных формул - это лукавство, так как в любой интерпретации всегда имеется куча неявных условий, не учтенных в формуле

[evko.livejournal.com]

Т.е. целый раздел математической логики, посвященный интерпретации теорий (то бишь точных формул) - это лукавство?

[svr2004.livejournal.com]

Это не следует из моих слов. Не лукавьте

[evko.livejournal.com]

Тогда мне непонятно, как вы относитесь к интерпретациям, которые не содержат неявных условий?

[psilogic.livejournal.com]

А с точки зрения чего еще можно сделать заключение о соответствии между формулой и текстом?

[svr2004.livejournal.com]

Например, с той точки зрения, которой Вы руководствовались, когда получали формулу V3.
А если менять точки зрения, то запросто может получиться любая фигня

[psilogic.livejournal.com]

[ [ А с точки зрения чего еще можно сделать заключение о соответствии между формулой и текстом? ]]

[ Например, с той точки зрения, которой Вы руководствовались, когда получали формулу V3. ]

Я получил формулу V3 из формулы V2. Текста там не было, только формула из формулы. Зато переход от V1 к V2 - это переход от текста к формуле. V4 и V5 демонстрируют переход от формул к тексту. Переходу от текста к формуле или от формулы к тексту возможны только на основе интуиции (или предложите другой критерий). Интуиция - это не то, что в голову взбредет, я это понятие "определил" в тексте: точка зрения интуиции - это предполагаемая оценка текста большинством носителей русского языка. Т.е. утверждение о том, что нечто интуитивно верно, может быть проверено экспериментально.

[svr2004.livejournal.com]

Вы меняете точку зрения во время последовательных рассуждений: сначала рассматриваете с точки зрения интуиции, потом - с точки зрения формальной логики, потом - опять с точки зрения интуиции.

И в конце удивляетесь, что у Вас получается черти-что

[psilogic.livejournal.com]

Нет, я не меняю точку зрения, а меняю язык по ходу рассуждений:

обычный язык -> формула -> формула -> формула -> обычный язык

Такой подход в случае арифметики вовсе не дает черти-что, а в случае импликации - дает.

[svr2004.livejournal.com]

Это уже похоже на препирательства – и становится скучным.

Вот Ваши фразы:
"Высказывание кажется истинным с точки зрения интуиции"

Далее: "Используя преобразования алгебры логики . . ." – это явныее рассуждения с точки зрения формальной логики.

Потом опять: "Даже если кнопка 1 включена, неизвестно состояние кнопки 2. Если она выключена, то свет не горит. Поэтому высказывание (V4) ложно с точки зрения интуиции."

А между прочим вот как раз с точки зрения формальной логики про истинность высказывания V4 сказать ничего нельзя, так как при истинном А2 оно истинно, а при ложном А2 – оно ложно.

И напоследок: "Однако с точки зрения формальной логики V3 имеет ту же истинность ... "

Так что как в известном анекдоте: либо трусы наденьте, либо крестик снимите :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Это уже похоже на препирательства – и становится скучным. ]

Мне пока интересно, но я вас не заставляю тоже сохранять интерес :)

[ Вот Ваши фразы:... Далее: "... Потом опять: ]

Это и есть схема, которую я вам написал:

обычный язык -> формула -> формула ->
> формула -> обычный язык

Что такого анекдотического в этой схеме?

Похожий пример:

Деньги в кошельке -> числа в голове -> числа в голове -> числа в голове -> деньги в кошельке

Процесс подсчета сдачи в магазине. Это анекдот? :)