![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Как Рассел поставил математику на уши
Собственно, про парадокс Рассела многие слышали. Я хочу описать слегка нестандартный подход к нему (а может и вполне стандартный, просто мне не те книжки попадались).
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
no subject
Это я всё прекрасно понимаю. Просто «это — кошка» — это действительно высказывание. А вот «это — множество» — нет. В наивной теории множеств нет такого понятия, как «немножество» вообще.
Когда такое понятие появляется, это уже называется не типизированной теорией множеств.
no subject
no subject
:-)
Больной Кантор считает все предметы множествами — либо пустыми, либо состоящими из других множеств, в конце концов раскладывающихся на каком-то уровне на пустые. На более ранней стадии болезни больной Кантор предполагал также наличие «объектов», из которых состоят множества. Сейчас же утверждает, что таковые были лишь примерами для новичков, предназначенные для упрощения понимания теории множеств.