![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Как Рассел поставил математику на уши
Собственно, про парадокс Рассела многие слышали. Я хочу описать слегка нестандартный подход к нему (а может и вполне стандартный, просто мне не те книжки попадались).
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
no subject
В двух деталях:
1) Ты добавил в сигнатуру теории предикат «x — множество», которого там до того не было. В твоей ТМ можно сказать «А — множество» на языке теории, а в НТМ этого предиката нету.
2) Ты предпологаешь, что характеристическое свойство не всегда задаёт множество, а в Наивной Теории чёрным по белому говориться, что каждому свойству соответствует множество. Так уж её /наивную теорию множеств/ Георг Кантор сформулировал, звиняйте.
Но не беспокойся, типизированных теорий множеств тоже уже напридумывали достаточно. Да и даже в ЦМ парадокс Рассела, собственно, решается почти точно, как ты говоришь.
ЦМ, хоть и не типизирована, но содержит пару хитростей.
В Наивной теории множеств ты буковку написал и уже тем самым сказал, что речь идёт о множестве. В ТМ Цермело-Френкеля буквочки бывают только для краткости. На самом деле, чтобы что-то взять, надо это что-то вначале сконструировать с помощью заложенных в теорию операторов. Сумел сконструировать — знач, множество. Нет — сорри.
Язык ТМ ЦФ, помнится мне, содержит шесть операторов:
{} — пустое множество, нульарный.
{a,b} — неупорядаченная пара, бинарный.
U(M) — объединение. Получает аргументом множество множеств, возвращает объединение оных. Унарный.
{x in A| P(x)} — фильтрование. Принимает множество A и строит множество тех его объектов, для которых высказывание P верно. Унарно-логический.
(Помнится, было ещё два оператора, но я их не помню..)
Если ты при помощи этих операторов можешь сконструировать чего-то, то это чего-то автоматически множество. Если не можешь — звиняйте, бананьев немае.
no subject
"странно: жопа есть, а слова нет" :)
чёрным по белому говориться, что каждому свойству соответствует множество
и не уточняется, что допустимо называть "свойством"
в цермело-френкеле угу, еще несколько операторов - функция, декартово произведение, да еще ограничение, обозванное "фундированием"...