psilogic | Хана импликации :)

Entry tags:

логика

Хана импликации :)

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Threaded | Top-Level Comments Only

[ Да, это так в моей формуле, я применил этот значок к глаголу “следует”, вот и получилось – не следует. А в Вашей формуле дело обстоит иначе. Вы применили этот значок ко ВСЕМУ выражению ]

А так обычно и делают. В самом общем случае ~A расшифровывается как "неправда, что A". Но, как правило, в A есть сказуемое, и тогда ~A расшифровывают как A, с частицей "не" перед сказуемым (вернее, перед группой сказуемого). Скажем: "неправда, что Мориарти убил Кеннеди" - примерно равно "Мориарти не убивал Кеннеди". При этом подразумевается, что ложь может быть в любом слове (убил, но не Кеннеди, не убил, а только ранил, не Мориарти, а Джек-Потрошитель).

[ Отвечая на этот вопрос, Вы и пришли к абсурду, а я – нет. ]

Это потому, что у вас вообще непонятно, что означает формула, и как из нее что-либо можно выводить - хоть абсурд, хоть неабсурд :) А если понимать как отрицание материальной импликации, то получится тот же абсурд.

[ Я имел в виду общие закономерности психики Homo Sapiens. ]

Ну сделают иск. интеллект, его спросят :)))

"Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true"

Неверно. У меня сейчас, например, и пасмурно и дождь идет.
~(true=>true) = true. Как же.

В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе.
Полностью оно понимается так:
Неправда, что для любого места и времени если погода пасмурная, то идет дождь.

После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true

x -- переменная из множества интересующих нас мест.

[ Неверно. ]

Что "неверно"? Формализация неверная, я об этом и говорю, что так нельзя формализовать. Из такой формализации получается, что всегда пасмурно и нет дождя, а у вас вот пасмурно и есть дождь.

[ В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе. ]

Это не поможет :) Зафиксируйте любой момент времени x0 в будущем (ну и в пространстве по аналогии), получите высказывания A(x0) и B(x0) насчет конкретного момента времени, скажем, 1 июля 2010 года. Дальше можно повротить все рассуждения, исходя из фразы: "Неправда, что если 1 июля 2010 года погода будет пасмурная, то 1 июля 2010 года пойдет дождь". Получите, что в этот день дождя не будет. А если будет? Тогда хана формализации :)

[ После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true ]

Эта формализация называется "strict implication", которая применяется в модальной логике. В отличие от "material implication", которую я рассматривал. В этой формализации тоже встречаются проблемы, но конкретно в этом случае парадокса действительно удастся избежать.

A: Неправда, что если 1 июля 2010 года погода будет пасмурная, то 1 июля 2010 года пойдет дождь.
B: Как это, неправда? Где-то же он обязательно пойдет.

А если начать фиксировать.

A: Неправда, что если(прямо тут и сейчас) погода пасмурная, то(тут и сейчас) идет дождь.
B: Почему неправда? Прямо тут и сейчас так оно и есть.

"Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда."

Нет, не доказали. Мы нашли всего лишь навсего комбинацию переменных, которая удовлетворяет формуле "высказывание про погоду"=true, делая его тождеством.

>>Где-то же он обязательно пойдет.
Почему это?

А нам как раз дано, что "высказывание про погоду"=true. Из этого можно сделать вывод, что для любого фиксированного момента времени и места погода будет пасмурной и не будет дождя. А из этого - что погода пасмурна всегда и дождь не идет никогда.

[ Как это, неправда? Где-то же он обязательно пойдет. ]

блин, я же сказал, что место тоже фиксируем...

[ Почему неправда? Прямо тут и сейчас так оно и есть. ]

Как оно "тут и сейчас есть"? Вы сказали, что тут и сейчас погода пасмурная ____И____ идет дождь. А отрицается не фраза со связкой "И", а фраза со связкой "ЕСЛИ". Представьте себе, что вы закрыли глаза, заткнули уши и не знаете, какая у вас атм погода и есть ли дождь. И вы собираетесь открыть глаза и уши, и посмотреть. Но _перед этим_ вы мысленно рассуждаете: если... погода окажется пасмурной, то... окажется, что идет дождь. Это правильно? Нет, т.к. может оказаться пасмурная погода, но без дождя.

Нет, вывод Вы делаете некорректно.
"Для любого фиксированного момента времени" - это все отсебятина.

[блин, я же сказал, что место тоже фиксируем...]

Когда разбираешь парадоксы, приходится быть излишне занудным.

Хорошо, в дальнейшем это "тут и сейчас" буду обозначать символом 5.

[Как оно "тут и сейчас есть"?]

Я плохо сформулировал возражение. Попробую подробнее.

Я:
нахожусь в мире в котором пасмурно(5), идет дождь(5).
Мне:
"Неправда, что если погода пасмурная(5), то идет дождь(5)". Это утверждение истинное во всех смыслах: <доказательство утверждения о погоде>.
Я:
Минуточку, у меня пасмурно(5) = true, идет дождь(5) = true. Подставляем в утверждение о погоде.
"Неправда, что если true, то true." ;(
Утверждение совсем не "истинное во всех смыслах"

[Представьте себе, что вы закрыли глаза, заткнули уши и не знаете, какая у вас атм погода и есть ли дождь. И вы собираетесь открыть глаза и уши, и посмотреть.]

А вот тут все становится резко плохо, ибо к двойке («утверждение истинно», «утверждение ложно») добавляется «значение утверждения не определено»(«пока мы не знаем»)

Но _перед этим_ вы мысленно рассуждаете: если... погода окажется пасмурной(5), то... окажется, что идет дождь(5)..

Еще и модальности времени выползли.. Я пас.

Вот если нам это _дано_(когда успели? Ничего подобного не утверждальсь, кажется.), да еще вставляя пропущенные кванторы до утверждения "Для любого дня x неправда, что если погода пасмурная(x), то идет дождь(x)", то действительно, получим что «погода пасмурна всегда и дождь не идет никогда».

Так это мы сами такую реальность сконструировали, когда «дано» задавали.

[ когда успели ]

Утверждение "если пасмурно, то дождь" ложно потому, что пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Отрицание ложного утверждения истинно. Так понятно?

что именно отсебятина?

[ Минуточку, у меня пасмурно(5) = true, идет дождь(5) = true. Подставляем в утверждение о погоде. ]

Такое возражение принимаю. Действительно, не стоило мне говорить, что оно истинно "во всех смыслах". В смысле материальной импликации оно как раз не истинно. Я имел в виду, все, так сказать, интуитивные смыслы. Потом я столкнул интуитивные смыслы с материальной импликацией, чтобы показать, что это ведет к противоречию. В принципе, та проблема, на которой я хотел заострить внимание, все равно остается: есть противоречие между пониманием двойного союза если-то в русском языке и в математике.

"значение утверждения не определено" - это не дополнительная истинность, это просто булева переменная, которой еще не присвоили значения.

Отсебятина - то, что Вы, делая вывод о погоде и дожде, ввели квантор "для любого", не говоря уже о понятии времени. Согласно Вашкй формализации, никакого времени и никаких кванторов в условии не было, поэтому вводить их совершенно некорректно.

А теперь давайте я попробую описать что тут на самом деле происходит.
Все дело тут в том, что исходная фраза многозначна. То есть, допускает множество различных интерпретаций, которые, перемешиваясь, и образуют путаницу.
Например, вот другая интерпретация: это утверждение, понятое в Вашей формализации, действительно всегда верно по житейской логике, если учесть что в любой момент времени дождь где-нибудь да идет: "если у нас пасмурно, то где-то идет дождь" - очевидно, это всегда верно.
А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?...

Теперь попробуем формализовать.

Случай первый - утверждение сделано о фиксированном месте и времени, которое всеми подразумевается. Скажем, мы находимся в клубе детективов, где Шерлок Холмс расследует убийство, к месту и времени которого все и относится. Тогда рассмотрим диалог:
Свидетель 1: Если я правильно помню, что погода была пасмурной, то значит шел дождь.
Свидетель 2: Свидетель 1 врет!
Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя.
Это как раз случай, рассмотренный выше.

Случай второй. Место и время не фиксированы. Тогда наше утверждение приобретает общий характер, для формальной записи которого нужны кванторы.
Обозначим (место, время) через х, утверждение о пасмурности через А и о дожде через В. Тогда имеем:
~ [ (Для любого)х : А=>B ] = true
Пронося отрицание внутрь, меняется квантор и получается:
[ (Существует)x : A & ~B ] = true
То есть, найдется такое место и время, когда пасмурно и без дождя - как раз контрпример, который и делает утверждение выше истиной. Все правильно и понятно, никакого противоречия.

Случай 3 - фиксированно только время (место) - предлагается читателю в качестве упражнения :)

Замечу, что Вы неправы, называя данное утверждение ложным.
Ложным называется утверждение, всякая интерпретация которого всегда ложна.
Я же привел выше пример интерпретации, при которой это не так.

[Утверждение "если пасмурно, то дождь" ложно потому, что пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.]

Давайте посмотрим, какое именно утверждение мы так обосновываем.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
есть день 5, что пасмурно(5) и не дождь(5)
есть день 5, что ~(пасмурно(5)=>дождь(5))
~(любой день x (пасмурно(x)=>дождь(x))

Т.е. приводя такое обоснование ложности вы показываете, что имели в виду именно такое понимание утверждения о погоде.

[ Отсебятина - то, что Вы, делая вывод о погоде и дожде, ввели квантор "для любого", не говоря уже о понятии времени. ]

Это не отсебятина, а закон логики предикатов. Если нечто доказано для произвольного выбранного x (где x с данном случеа - момент времени и место), то можно поставить квантор всеобщности:

A(x) |- ∀ A(x)

Например см. у falcao

[ А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?... ]

А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.

[ Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя. ]

Нет. Он мог заявить это и без этого. Еще раз: там стоит "ЕСЛИ", а не "И", это разные вещи.

[ Ложным называется утверждение, всякая интерпретация которого всегда ложна. ]

Здесь уже неправы вы. Ко всякому утверждению можно придумать "интерпретацию", которая будет истинна -в смысле можно извратить и перетолковать смысл любого текста, было бы желание. Ну как Библию перетолковывают.

~(пасмурно(x)=>дождь(x))

В смысле матлогики - я как раз прав. Утверждения обычного языка я не имел в виду.

но вы занимались "интерпретациями" не в смысле матлогики, а в смысле обычного языка - перетолковали условие по-своему :)

Не понял, как из
~(любой день x P(x)), где P(x) = (пасмурно(x)=>дождь(x))
получилось
~P(x), где (пасмурно(x)=>дождь(x))

было дано
~P(x) при произвольно заданном x
из этого получилось
∀ x ~P(x)

В данном случае - как раз в смысле матлогики.

Threaded | Top-Level Comments Only

Page 2 of 4

Хана импликации :)

no subject

Ошибка формализации.

Re: Ошибка формализации.

Re: Ошибка формализации.

no subject

Re: Ошибка формализации.

no subject

Re: Ошибка формализации.

no subject

Re: Ошибка формализации.

no subject

no subject

no subject

Re: Ошибка формализации.

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject