Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

Ошибка формализации.

[inkelyad.livejournal.com]

"Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true"

Неверно. У меня сейчас, например, и пасмурно и дождь идет.
~(true=>true) = true. Как же.

В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе.
Полностью оно понимается так:
Неправда, что для любого места и времени если погода пасмурная, то идет дождь.

После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true

x -- переменная из множества интересующих нас мест.

Re: Ошибка формализации.

[psilogic.livejournal.com]

[ Неверно. ]

Что "неверно"? Формализация неверная, я об этом и говорю, что так нельзя формализовать. Из такой формализации получается, что всегда пасмурно и нет дождя, а у вас вот пасмурно и есть дождь.

[ В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе. ]

Это не поможет :) Зафиксируйте любой момент времени x0 в будущем (ну и в пространстве по аналогии), получите высказывания A(x0) и B(x0) насчет конкретного момента времени, скажем, 1 июля 2010 года. Дальше можно повротить все рассуждения, исходя из фразы: "Неправда, что если 1 июля 2010 года погода будет пасмурная, то 1 июля 2010 года пойдет дождь". Получите, что в этот день дождя не будет. А если будет? Тогда хана формализации :)

[ После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true ]

Эта формализация называется "strict implication", которая применяется в модальной логике. В отличие от "material implication", которую я рассматривал. В этой формализации тоже встречаются проблемы, но конкретно в этом случае парадокса действительно удастся избежать.

Re: Ошибка формализации.

[inkelyad.livejournal.com]

A: Неправда, что если 1 июля 2010 года погода будет пасмурная, то 1 июля 2010 года пойдет дождь.
B: Как это, неправда? Где-то же он обязательно пойдет.

А если начать фиксировать.

A: Неправда, что если(прямо тут и сейчас) погода пасмурная, то(тут и сейчас) идет дождь.
B: Почему неправда? Прямо тут и сейчас так оно и есть.

Re: Ошибка формализации.

[god-bless-ya.livejournal.com]

>>Где-то же он обязательно пойдет.
Почему это?

Re: Ошибка формализации.

[psilogic.livejournal.com]

[ Как это, неправда? Где-то же он обязательно пойдет. ]

блин, я же сказал, что место тоже фиксируем...

[ Почему неправда? Прямо тут и сейчас так оно и есть. ]

Как оно "тут и сейчас есть"? Вы сказали, что тут и сейчас погода пасмурная ____И____ идет дождь. А отрицается не фраза со связкой "И", а фраза со связкой "ЕСЛИ". Представьте себе, что вы закрыли глаза, заткнули уши и не знаете, какая у вас атм погода и есть ли дождь. И вы собираетесь открыть глаза и уши, и посмотреть. Но _перед этим_ вы мысленно рассуждаете: если... погода окажется пасмурной, то... окажется, что идет дождь. Это правильно? Нет, т.к. может оказаться пасмурная погода, но без дождя.

Re: Ошибка формализации.

[inkelyad.livejournal.com]

[блин, я же сказал, что место тоже фиксируем...]

Когда разбираешь парадоксы, приходится быть излишне занудным.

Хорошо, в дальнейшем это "тут и сейчас" буду обозначать символом 5.

[Как оно "тут и сейчас есть"?]

Я плохо сформулировал возражение. Попробую подробнее.

Я:
нахожусь в мире в котором пасмурно(5), идет дождь(5).
Мне:
"Неправда, что если погода пасмурная(5), то идет дождь(5)". Это утверждение истинное во всех смыслах: <доказательство утверждения о погоде>.
Я:
Минуточку, у меня пасмурно(5) = true, идет дождь(5) = true. Подставляем в утверждение о погоде.
"Неправда, что если true, то true." ;(
Утверждение совсем не "истинное во всех смыслах"

[Представьте себе, что вы закрыли глаза, заткнули уши и не знаете, какая у вас атм погода и есть ли дождь. И вы собираетесь открыть глаза и уши, и посмотреть.]

А вот тут все становится резко плохо, ибо к двойке («утверждение истинно», «утверждение ложно») добавляется «значение утверждения не определено»(«пока мы не знаем»)

Но _перед этим_ вы мысленно рассуждаете: если... погода окажется пасмурной(5), то... окажется, что идет дождь(5)..

Еще и модальности времени выползли.. Я пас.

Re: Ошибка формализации.

[psilogic.livejournal.com]

[ Минуточку, у меня пасмурно(5) = true, идет дождь(5) = true. Подставляем в утверждение о погоде. ]

Такое возражение принимаю. Действительно, не стоило мне говорить, что оно истинно "во всех смыслах". В смысле материальной импликации оно как раз не истинно. Я имел в виду, все, так сказать, интуитивные смыслы. Потом я столкнул интуитивные смыслы с материальной импликацией, чтобы показать, что это ведет к противоречию. В принципе, та проблема, на которой я хотел заострить внимание, все равно остается: есть противоречие между пониманием двойного союза если-то в русском языке и в математике.

"значение утверждения не определено" - это не дополнительная истинность, это просто булева переменная, которой еще не присвоили значения.