Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[nefedor.livejournal.com]

"Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда."

Нет, не доказали. Мы нашли всего лишь навсего комбинацию переменных, которая удовлетворяет формуле "высказывание про погоду"=true, делая его тождеством.

[psilogic.livejournal.com]

А нам как раз дано, что "высказывание про погоду"=true. Из этого можно сделать вывод, что для любого фиксированного момента времени и места погода будет пасмурной и не будет дождя. А из этого - что погода пасмурна всегда и дождь не идет никогда.

[nefedor.livejournal.com]

Нет, вывод Вы делаете некорректно.
"Для любого фиксированного момента времени" - это все отсебятина.

[psilogic.livejournal.com]

что именно отсебятина?

[nefedor.livejournal.com]

Отсебятина - то, что Вы, делая вывод о погоде и дожде, ввели квантор "для любого", не говоря уже о понятии времени. Согласно Вашкй формализации, никакого времени и никаких кванторов в условии не было, поэтому вводить их совершенно некорректно.

А теперь давайте я попробую описать что тут на самом деле происходит.
Все дело тут в том, что исходная фраза многозначна. То есть, допускает множество различных интерпретаций, которые, перемешиваясь, и образуют путаницу.
Например, вот другая интерпретация: это утверждение, понятое в Вашей формализации, действительно всегда верно по житейской логике, если учесть что в любой момент времени дождь где-нибудь да идет: "если у нас пасмурно, то где-то идет дождь" - очевидно, это всегда верно.
А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?...

Теперь попробуем формализовать.

Случай первый - утверждение сделано о фиксированном месте и времени, которое всеми подразумевается. Скажем, мы находимся в клубе детективов, где Шерлок Холмс расследует убийство, к месту и времени которого все и относится. Тогда рассмотрим диалог:
Свидетель 1: Если я правильно помню, что погода была пасмурной, то значит шел дождь.
Свидетель 2: Свидетель 1 врет!
Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя.
Это как раз случай, рассмотренный выше.

Случай второй. Место и время не фиксированы. Тогда наше утверждение приобретает общий характер, для формальной записи которого нужны кванторы.
Обозначим (место, время) через х, утверждение о пасмурности через А и о дожде через В. Тогда имеем:
~ [ (Для любого)х : А=>B ] = true
Пронося отрицание внутрь, меняется квантор и получается:
[ (Существует)x : A & ~B ] = true
То есть, найдется такое место и время, когда пасмурно и без дождя - как раз контрпример, который и делает утверждение выше истиной. Все правильно и понятно, никакого противоречия.

Случай 3 - фиксированно только время (место) - предлагается читателю в качестве упражнения :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Отсебятина - то, что Вы, делая вывод о погоде и дожде, ввели квантор "для любого", не говоря уже о понятии времени. ]

Это не отсебятина, а закон логики предикатов. Если нечто доказано для произвольного выбранного x (где x с данном случеа - момент времени и место), то можно поставить квантор всеобщности:

A(x) |- ∀ A(x)

Например см. у falcao

[ А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?... ]

А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.

[ Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя. ]

Нет. Он мог заявить это и без этого. Еще раз: там стоит "ЕСЛИ", а не "И", это разные вещи.

[nefedor.livejournal.com]

Это не отсебятина, а закон логики предикатов

Во-певых, Вы выводите формулу в заглавном сообщении без кванторов, а затем вдруг начинаете их использовать или неявно подразумевать. Из-за этого Вы смешиваете интерпретации первого и второго случая, из-за чего и вылезает мнимое противоречие.
Вы говорите что предикаты Вам не нужны так как ∀x A(x) |- A(x), но тут Вы делаете неверный вывод. Действительнно, ∀x A(x) |- A(x), но это это если доказано что ∀x A(x) = true, в то время как у нас оно как раз ложь, и избавиться от квантора таким образом нельзя.

А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.

А давайте не давайте. :)
Условий никто не меняет, они просто сформулированы так, что допускают различные понимания, значит мы вольны в выборе.

Нет. Он мог заявить это и без этого.

Ну-ка расскажите-ка как это он мог? :)
Вот именно что из-за того что там ЕСЛИ а не И, он и не мог.

[psilogic.livejournal.com]

подумайте еще немного сами - у меня сейчас все ответы только матерные, а вас уважаю, обижать не хочу...

[nefedor.livejournal.com]

Вы знаете, я думал когда учился на мехмате. Так что лучше подумайте Вы.

[psilogic.livejournal.com]

а... растопыренные пальцы думать мешают... тогда понятно...

[inkelyad.livejournal.com]

Вот если нам это _дано_(когда успели? Ничего подобного не утверждальсь, кажется.), да еще вставляя пропущенные кванторы до утверждения "Для любого дня x неправда, что если погода пасмурная(x), то идет дождь(x)", то действительно, получим что «погода пасмурна всегда и дождь не идет никогда».

Так это мы сами такую реальность сконструировали, когда «дано» задавали.

[psilogic.livejournal.com]

[ когда успели ]

Утверждение "если пасмурно, то дождь" ложно потому, что пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Отрицание ложного утверждения истинно. Так понятно?

[nefedor.livejournal.com]

Замечу, что Вы неправы, называя данное утверждение ложным.
Ложным называется утверждение, всякая интерпретация которого всегда ложна.
Я же привел выше пример интерпретации, при которой это не так.

[psilogic.livejournal.com]

[ Ложным называется утверждение, всякая интерпретация которого всегда ложна. ]

Здесь уже неправы вы. Ко всякому утверждению можно придумать "интерпретацию", которая будет истинна -в смысле можно извратить и перетолковать смысл любого текста, было бы желание. Ну как Библию перетолковывают.

[nefedor.livejournal.com]

В смысле матлогики - я как раз прав. Утверждения обычного языка я не имел в виду.

[psilogic.livejournal.com]

но вы занимались "интерпретациями" не в смысле матлогики, а в смысле обычного языка - перетолковали условие по-своему :)

[nefedor.livejournal.com]

В данном случае - как раз в смысле матлогики.

[psilogic.livejournal.com]

неа, в обычном. перетолковываете смысл слов

[inkelyad.livejournal.com]

[Утверждение "если пасмурно, то дождь" ложно потому, что пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.]

Давайте посмотрим, какое именно утверждение мы так обосновываем.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
есть день 5, что пасмурно(5) и не дождь(5)
есть день 5, что ~(пасмурно(5)=>дождь(5))
~(любой день x (пасмурно(x)=>дождь(x))

Т.е. приводя такое обоснование ложности вы показываете, что имели в виду именно такое понимание утверждения о погоде.

[psilogic.livejournal.com]

~(пасмурно(x)=>дождь(x))

[inkelyad.livejournal.com]

Не понял, как из
~(любой день x P(x)), где P(x) = (пасмурно(x)=>дождь(x))
получилось
~P(x), где (пасмурно(x)=>дождь(x))

[psilogic.livejournal.com]

было дано
~P(x) при произвольно заданном x
из этого получилось
∀ x ~P(x)

[nefedor.livejournal.com]

Стоп. Вы отрицание пронесли внутрь квантора, а квантор не поменяли. Ошибка.

[psilogic.livejournal.com]

я ничего никуда не вносил, просто тупо поставил квантор

[nefedor.livejournal.com]

Вот и она, ошибка формализации.
~∀x:P(x) и ∀x:~P(x) это две большие разницы.
Из первой не выводимо противоречие, из второй выводимо.
Так как всеобщность звпрятана во фразе про P(x), то очевидно что именно первая формализация правильна.
Ваша фраза "было дано ~P(x) при произвольно заданном x" ошибочна - этого как раз "для произвольного фиксированного х" не дано.