В аксиоматической теории утверждения бывают только двух типов: выводимые (т.е. можно вывести из аксиом) или невыводимые (т.е. нельзя вывести из аксиом). Истинное/ложное - это градация из другой оперы, из алгебраических систем (типа булевой алгебры). Совмещается одно с другим при помощи "интерпретации" - это схема, принцип, по которому часть утверждений отмечается как истинные и ложные.
Для той логики, которой мы пользуемся повседневно, в том числе, когда в научной или учебной литературе пишут доказательства текстом для этой логики (назову ее условно ЛПУ - логикой по-умолчанию) интерпретация такова:
1. Аксиомы истинны. 2. Все утверждения, выводимые из аксиом - истинны. 3. Все утверждения, которые являются отрицанием истинных утверждений - ложны. 4. Для оставшихся утверждений истинность неопределена.
Обратите внимание: невыводимые утверждения поделились на два класса: ложные и неопределенные. X ложно, если можно вывести (не Х). Если мы не можем вывести ни X, ни (не X) - это что-то неопределенное - не ложь, не истина, не третье значение истинности, а аналог неизвестной числовой переменной в математике. Совсем плохо, когда можно вывести и X, и (не X) - такая ситуация называется "противоречивой теорией", и для ЛПУ означает, что непорядок в аксиомах - надо их менять.
Теперь ваш пример. Это у вас самый обыкновенный парадокс лжеца.
"Это утверждение ложно". Обозначим это утверждение как X. Оно утверждает ложность самого себя - эдакая рекурсия, ну пусть будет рекурсия. Утверждение означает (см. выше), что есть вывод обратного: (не X). Метод доказательства от противного требует для начала рассмотреть отрицание этого. Что будет отрицанием? Им будет утверждение, что нет вывода (не X) - т.е. что оно невыводимо. Невыводимо - значит ложно или неопределенно. Ложно - ведет к противоречию, остается - неопределенно. Вывод - утверждение в парадоксе лжеца является невыводимым с неопределенной истинностью.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2013-11-08 05:45 pm (UTC)Для той логики, которой мы пользуемся повседневно, в том числе, когда в научной или учебной литературе пишут доказательства текстом для этой логики (назову ее условно ЛПУ - логикой по-умолчанию) интерпретация такова:
1. Аксиомы истинны.
2. Все утверждения, выводимые из аксиом - истинны.
3. Все утверждения, которые являются отрицанием истинных утверждений - ложны.
4. Для оставшихся утверждений истинность неопределена.
Обратите внимание: невыводимые утверждения поделились на два класса: ложные и неопределенные. X ложно, если можно вывести (не Х). Если мы не можем вывести ни X, ни (не X) - это что-то неопределенное - не ложь, не истина, не третье значение истинности, а аналог неизвестной числовой переменной в математике. Совсем плохо, когда можно вывести и X, и (не X) - такая ситуация называется "противоречивой теорией", и для ЛПУ означает, что непорядок в аксиомах - надо их менять.
Теперь ваш пример. Это у вас самый обыкновенный парадокс лжеца.
"Это утверждение ложно". Обозначим это утверждение как X. Оно утверждает ложность самого себя - эдакая рекурсия, ну пусть будет рекурсия. Утверждение означает (см. выше), что есть вывод обратного: (не X).
Метод доказательства от противного требует для начала рассмотреть отрицание этого. Что будет отрицанием? Им будет утверждение, что нет вывода (не X) - т.е. что оно невыводимо. Невыводимо - значит ложно или неопределенно. Ложно - ведет к противоречию, остается - неопределенно. Вывод - утверждение в парадоксе лжеца является невыводимым с неопределенной истинностью.