О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

[psilogic.livejournal.com]

Как это?

[nekroz.livejournal.com]

она хуже тем, что из нее следует, что математические идеи стабильны в силу названия
в то время как они называются так в силу стабильности

про философию - понятно, что все плохие люди должны быть убиты хорошими
но тогда и линию атаки надо строить таким образом, чтоб она наступала по фронту "хорошести", а не по фронту, который включает в себя как хороших, так и плохих
сущестувует ли огромное количество бездарных философов? конечно да, тем более, что в философии довольно просто быть бездарным
но ведь существует и огромное количество бездарных математиков, физиков, да и всех прочих
и убить надо бы их всех, тем паче, что сформулировать "линию фронта" таким образом, чтобы всех задело, не большая проблема
это, как мне кажется, лучше и последовательнее, чем говорить, что надо убить всех коричневых, а потом говорить, что некоторые из коричневых на самом деле зеленые, просто маскируются под

[psilogic.livejournal.com]

[ Как из них выделить математические? ]

Во-первых, они стабильны (по исходному условию).

Во-вторых, они отделены от эксперимента
(т.е. математики специализируются именно на фрагментах моделей, мало задумываясь или вовсе не задумываясь об их потенциальном применении в физике и т.п. - другое дело, что сами традиции математики этому способствуют)

В-третьих, они нетривиальны, т.е. это не такие утверждения, про которые и так большинству людей сходу ясно, что они верны (типа "коровы не летают"). Хотя отдельные утверждения могут быть тривиальны, но математики специализируются на более сложных.

[ А почему модель и эксперимент стабильно совпадают? ]

Произвольно взятые модели и эксперименты НЕ совпадают. Просто наука и инженерия целенаправленно ищут, отбирают такие совпадения.

[psilogic.livejournal.com]

Это да, есть у меня такая черта :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Если у нас нет мозгов, нет бумажек - будет ли существовать теорема Пифагора? ]

Нет, не будет. Когда вновь появятся мозги, она может быть переоткрыта, но необязательно.

[psilogic.livejournal.com]

Бывает, просто не в тему :)

[nekroz.livejournal.com]

"профессиональная" деформация

[psilogic.livejournal.com]

[ я думаю, что ваш собеседник имеет ввиду "существует в виде имманентно присущего мирозданию закона" ]

я могу написать рядом еще больше звучных слов и согласовать их по падежам - но не факт, что этот набор слов будет иметь физический смысл :)

[ это и есть Пифагор в почти оригинальном виде ]

ну я понял, что Вы про идеализм - так я его как раз и "громлю"

[psilogic.livejournal.com]

[ Мы не можем так сказать до тех пор, пока не построим дом из кирпичей. И только из кирпичей. Без кровли, бетона, шаклевки, дерева и пр.. ]

А вдруг мы при строительстве взяли не те кирпичи или нечаянно добавили бактерий на кирпичах, не заметив этого, а в них, в бактериях и было все дело? Поинмаете, к чему я клоню? ;)

[vklin.livejournal.com]

Дело не этом. Мне просто не кажется адекватным данное определение "природы мысли". Соответственно, вряд ли стоит ожидать верных выводов.

[the-kot.livejournal.com]

Ок. Сверим аксиоматику:
я исхожу из того, что окружающий нас мир реален и не зависит от наличия или отсутствия наблюдателя.
Вы с этим пунктом согласитесь?

[bsivko.livejournal.com]

Нет.

[psilogic.livejournal.com]

Отбор - только на последнем этапе. А откуда берутся - все остальные этапы.

[nekroz.livejournal.com]

физический смысл? конечно будет
разве теория флогистона не имела физического смысла?
другой вопрос, что сама идея о существовании "идеального мира" для сегодняшнего уровня развития мысли довольно наивна
то есть детям как бы еще можно, а вот взрослым как бы уже нет
в контексте математики идеализм тем и интересен, что появился, как ответ на "вызов" брошенный математикой людям соответствующего периода времени и являлся попыткой осмыслить природу "числа" в первую очередь

[thedeemon.livejournal.com]

По поводу математиков и стабильности:
у моей жены в качестве диплома было задание доказать, что производная от такого-то сложного интеграла (из какой-то экономической модели) равна нулю. Жена считала-считала, и доказала, что научник был неправ, и производная нулю нифига не равна. :)

[maxwaxevgen.livejournal.com]

"...1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу..."
Самое интересное - это как и почему эти процессы зарождаются.
И может главное - зачем?
Вот к примеру, можно ли синтезировать данный процесс ( процесс мысли) в неком приборе?
Назовём его роботом.
Наверное можно. Пусть даже не сейчас, пусть даже лет этак через...ну, когда наука до этого дойдёт.
И вот в чём коренной вопрос: а так уж умны будут мысли робота по сравнению в человеческими?
И в чём будет ( а будет обязательно!) их принципиальное отличие?

[alexey-rom.livejournal.com]

> Во-вторых, они отделены от эксперимента
(т.е. математики специализируются именно на фрагментах моделей, мало задумываясь или вовсе не задумываясь об их потенциальном применении в физике и т.п. - другое дело, что сами традиции математики этому способствуют)

Т.е. вся египетская и вавилонская математика и большая часть греческой (до Пифагора включительно) -- не математика.

[thedeemon.livejournal.com]

Если Алиса и Боб оба считают, что 2*2=4, у них эта мысль одинаковая или нет?
Идея одна и та же, но процессы в мозгах совершенно разные (ибо мозги неповторимо разные).

[nekroz.livejournal.com]

ну вот вы сейчас в желании (вполне понятном) покритиковать идеализм рискуете свалиться в соллипсизм, который по сути "те же, но в профиль"
то есть с одной стороны, как бы очевидно, что идеи не существуют материально, и платоновская "стольность" не парит на воздусях, а с другой стороны, закон сохранения энергии выполняется и в отсутствие наблюдателя (ну, по крайней мере мы с вами вряд ли найдем точку для спора в данном вопросе) и вряд ли теорема пифагора чем то хуже
собственно, требуется сформулировать компромисс между двумя воззрениями

[psilogic.livejournal.com]

[ она хуже тем, что из нее следует, что математические идеи стабильны в силу названия
в то время как они называются так в силу стабильности ]

Тогда вы не поняли ни одну из трех формулировок. Название - это просто удобный ярлык, который вешается на то или это. В данном случае - на результат отбора идей определенного типа и людей определенного типа. Отчего так оказывается, что отобрать стабильные идеи можно - это у меня описано в посте. Отчего вообще есть из чего отбирать, т.е. почему некоторые идеи вообще стабильны - отдельный вопрос, выходящий за (предполагаемые) рамки темы, но я Стилгару выше ответил и на него тоже.

Что касается философов и математиков. Я понимаю, что есть и бездарные математики, и бездарные философы. И есть одаренные математики. А есть ли одаренные философы? Вот таких я не знаю - и в этом соль.

[psilogic.livejournal.com]

Ну так дайте более адекватное и поясните почему оно более адекватное.

Хотя, конечно, вы можете ограничиться своим "фе", осторожно избегая дискуссии :)

[psilogic.livejournal.com]

Я не нуждаюсь в этой гипотезе :)

[psilogic.livejournal.com]

К тому, что даже сборка своими руками не гарантирует, что мы ничего не упустили. Она просто усилит нашу уверенность в том, что упущения маловероятны. А до сборки мы имеем меньшую уверенность, но все же имеем.

[psilogic.livejournal.com]

:)

[psilogic.livejournal.com]

[ И в чём будет ( а будет обязательно!) их принципиальное отличие? ]

В hardware :)