О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

[fleytist.livejournal.com]

Вы забавны.

[http://users.livejournal.com/sharper_/]

???

[nekroz.livejournal.com]

между тем, в свое время сам факт, сама возможность существования математики, настолько свела с ума обитателей того самого времени, что и породила, по сути, философию
правда, не ту, которую вы называете философией, а ту, сталкиваясь с которой вы стараетесь философией не называть
ключевые слова для ликвидации безграмотности - пифагор, пифагорейцы, метафизика платона, ну и пусть физика платона тоже будет

[psilogic.livejournal.com]

Если вы уже ликвидировали свою безграмотность путем медитации на "ключевые слова", тогда вперед и с песней - разгромите мои выкладки, пользуясь почерпнутой мудростью. А болтать всяк горазд.

[http://users.livejournal.com/sharper_/]

(удовлетворённо) угу! А теперь прикинь способы. Геометрические и символьные. С учётом записи.

[psilogic.livejournal.com]

Кто о чем, а лысый бегемот... =)

[bsivko.livejournal.com]

>Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

ЭХПроцессы - это носитель. Мысль, как и идея, сама по себе инвариантна относительно материального носителя.

>Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты?

Вероятностные алгоритмы тоже мысли и идеи, но они дают разные результаты.

[psilogic.livejournal.com]

[ Мысль, как и идея, сама по себе инвариантна относительно материального носителя. ]

А кроме мозгов других носителей для мысли пока нет. Хотя, в принципе, возможны.

[ Вероятностные алгоритмы тоже мысли и идеи, но они дают разные результаты. ]

Выход датчика случайных чисел - это не математическая идея.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

Не раскрыта природа стабильности результатов.

[nekroz.livejournal.com]

о! вот это вы сейчас в точку
вообще третий пункт не говорит ни о чем
"почему? потому!", вот к чему он сводится

[vklin.livejournal.com]

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Дальше не читал:-)

[psilogic.livejournal.com]

И правильно. В свое время православный поцреарх требовал запретить книгу Сеченова, т.к. православным такое читать вредно. :)

[wingover.livejournal.com]

В ФАКе вообще ничего не отвечает на вопрос, поставленный falcao.
А так-то, конечно, веревка ≡ вервие простое.

[psilogic.livejournal.com]

На который из вопросов? Сформулируйте.

[alexey-rom.livejournal.com]

> Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же.

> Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты

То есть результат прочтения любого связного текста на понятном языке -- математическое утверждение. Интересная точка зрения, но заслуживающая отдельного обоснования :)

> Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день

Стабильность гарантирует только то, что модель будет каждый день говорить, что он полетит. Модель аристотелевой механики точно так же стабильна.

[psilogic.livejournal.com]

[ То есть результат прочтения любого связного текста на понятном языке -- математическое утверждение. ]

Нет. Просто есть стабильные утверждения и среди них - математические.

[ Стабильность гарантирует только то, что модель будет каждый день говорить, что он полетит ]

Добавьте сюда стабильное совпадение модели с экспериментом - и получите стабильность результатов самого эксперимента, а не только модели.

[racoonbear.livejournal.com]

Вообще, был такой автор, МОрис Клайн и были у него пара книжиц на эту тему: "Математика: Поиск истины" и "Математика: утрата определенности".

[psilogic.livejournal.com]

Ну, ясное дело, Тигр и Крокодил не первые, кто завел разговор на эту тему :)

[shmel39.livejournal.com]

"Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли."

Ложное оттождествление. Бывают мысли, которые выражают идеи. Точно также идея может быть выражены иным образом. В первую очередь материальным носителем: бумаге, компьютере, что хотите. Если вы считате, что $E=mc^2$ кодирует электрохимимческие импульсы в моей голове, то вы ошибаетесь. Хотя бы потому что вряд ли в вашей при "разархивации" это породит точно такие же импульсы, однако о чем речь вы поймете. Мысль - одно из возможных представлений идеи.

Если мы принимаем это определение:
"Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов."
то мысль имеет совершенно конкретную зависимость от носителя - мозга. А идея - нет.

Точно также я могу назвать числом любую последовательность арабских цифр. А потом сказать, что до арабов (до индусов, не суть важно) чисел не было.

[psilogic.livejournal.com]

[ Бывают мысли, которые выражают идеи. ]

Проще сказать, что идея - это примерно то же самое, что и мысль, просто идея - чуть более "крупная" или значимая единица, например, несколько мыслей на одну тему или самая важная мысль из нескольких или мысль. Ну это уже вопрос терминологии.

То, что на бумаге - это закодированная мысль. Без устройства кодирования/декодирования письменности (без мозга) бумажка бесполезно, а мозг может мыслить и без бумажки.

[ Точно также я могу назвать числом любую последовательность арабских цифр. А потом сказать, что до арабов (до индусов, не суть важно) чисел не было. ]

И я с этим соглашусь - не было.

[trueblacker.livejournal.com]

я что-то не понял, физика == математика?

[psilogic.livejournal.com]

Чтение текста, математика и физика - это были три примера областей, где возникают "стабильные" идеи, мысли, утверждения. Математика специализируется на некотором подмножестве "стабильных" утверждений.

[the-kot.livejournal.com]

Одна беда: а что если математика к идеям и мыслям не имеет отношения?

[psilogic.livejournal.com]

Как это?

[thedeemon.livejournal.com]

По поводу математиков и стабильности:
у моей жены в качестве диплома было задание доказать, что производная от такого-то сложного интеграла (из какой-то экономической модели) равна нулю. Жена считала-считала, и доказала, что научник был неправ, и производная нулю нифига не равна. :)

[psilogic.livejournal.com]

:)

[maxwaxevgen.livejournal.com]

"...1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу..."
Самое интересное - это как и почему эти процессы зарождаются.
И может главное - зачем?
Вот к примеру, можно ли синтезировать данный процесс ( процесс мысли) в неком приборе?
Назовём его роботом.
Наверное можно. Пусть даже не сейчас, пусть даже лет этак через...ну, когда наука до этого дойдёт.
И вот в чём коренной вопрос: а так уж умны будут мысли робота по сравнению в человеческими?
И в чём будет ( а будет обязательно!) их принципиальное отличие?

[psilogic.livejournal.com]

[ И в чём будет ( а будет обязательно!) их принципиальное отличие? ]

В hardware :)

[thedeemon.livejournal.com]

Если Алиса и Боб оба считают, что 2*2=4, у них эта мысль одинаковая или нет?
Идея одна и та же, но процессы в мозгах совершенно разные (ибо мозги неповторимо разные).

[psilogic.livejournal.com]

Если два вольтметра показывают 10 вольт, они показывают одно или нет? Просто вольтметры состоят из кусков металла, в которых расположение кристалов неповторимо разное. ;)

[fabii7.livejournal.com]

А зачем вы так отграничиваете себя от философии..?)
По-моему, сама этимология сего понятия подразумевает стремление к познанию, будь то рационализм, эпикуреизм или же психологика - суть одно: познание (или же интерпретация) того сегмента сущего, который доступен нашим сенсорным системам.


По сути поста: мне, например, осталось неясным, какой исходный тезис вы оспаривали.

"формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так." - это..?

А какой пример следствия из денного утверждения?
Например, "число Пи существует само по себе во вселенной"?

[psilogic.livejournal.com]

[ А зачем вы так отграничиваете себя от философии..?) ]

http://psi-logic.shadanakar.org/psi/anti.htm

[ По сути поста: мне, например, осталось неясным, какой исходный тезис вы оспаривали. ]

Я попытался показать, что никакой мистики или идеализма не нужно, чтобы объяснить ситуацию с математическими идеями, вполне достаточно физиологии.

[ А какой пример следствия из денного утверждения?
Например, "число Пи существует само по себе во вселенной"? ]

Видимо, так. Для уверенности подожду falcao

[thedeemon.livejournal.com]

>Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Это рабочая гипотеза, пока не доказанная. Можно лишь утверждать, что мышление как процесс сопровождается электрохимическими разрядами в мозгу. Как ветер сопровождается качанием деревьев.

[psilogic.livejournal.com]

В таком смысле вся наука - рабочая гипотеза, пока не доказанная. :)

[thedeemon.livejournal.com]

Еще философский наброс:
наличие (существование) мысли для меня самоочевидно. А существование всего остального, включая мозг и окружающую реальность, я могу лишь воспринимать в виде опять же мысли, и мысль эта вторична, будучи лишь логическим выводом из мыслей-ощущений. В этом отношении математическая идея sin(2Pi)=0 столь же реальна, как и идея солнца (а солнце мы не можем воспринимать иначе как идею, потрогать-то его нельзя).

[psilogic.livejournal.com]

Хм. А с чем, предполагается, я тут должен спорить в качестве реакции на наброс? :)

мельканье нулей и единиц

[falcao.livejournal.com]

Я не буду отвечать сразу на всё, а сосредоточусь пока на самом первом Вашем тезисе.

Вот тут выше совершенно правильно заметили, что мысль (точнее, то, что под ней обычно понимают) всего лишь сопровождается "процессом в мозгу". Допустим, что физиологи как следует изучили "моск" и выяснили, что конкретной мысли (пусть это будет хоть 2x2=4, хоть теорема Пифагора) соответствует нечто, связанное с вполне понятными и конкретными процессами. Но что это в принципе может дать?

Давайте компьютерный пример возьмём. Вот есть некий алгоритм, который можно записать в виде программы на разных алгоритмических языках. Вы, почитав эти программы, легко придёте к выводу о том, что обе программы делают одно и то же в каком-то смысле.

Потом всё это перевели в машинные коды и запустили на разных компьютерах. Внутри них происходят вполне понятные и "отслеживаемые" процессы: какие-то нули и единички каким-то хитрым образом меняют друг друга в памяти. Можно ли утверждать, что "алгоритм" -- это и есть вот это самое "мельтешение", и что ответы у разных машин совпали из-за того, что компьютеры имеют "общего эволюционного предка"? Или потому, что выдаваемые ими результаты "стабильны"? То есть они как бы "волею судеб" совпали, а потом это дело взяли и "узаконили"?

Я пока на этом остановлюсь, но добавляю одну вещь по поводу различения понятий "мысль" и "идея". В моей терминологии, "идея" есть нечто принципиально "имматериальное", а "мысль" я определяю как "уловленную идею". Грубо говоря, число "пи" можно понимать как "идею", которая "принадлежит Вечности". И она могла быть "уловлена" какими-то "сознаниями" помимо нашего. Когда я думаю о числе "пи" тем или иным способом, то у меня в голове возникают определённые мысли. Тут разница очевидна, потому что "идея" как бы "одна на всех", а мысли у всех разные, хотя и "схожие". Потому что моя голова -- это моя голова, и в неё идут одни "физические процессы", а в Вашей происходит что-то пусть даже "аналогичное", но другое. Просто в силу того, что Тигр не "тождествен" Крокодилу! :)

Re: мельканье нулей и единиц

[psilogic.livejournal.com]

[ Но что это в принципе может дать? ]

Что это "нечто" и есть та самая мысль. Не "сопровождает" мысль, а просто мысль.

[ Можно ли утверждать, что "алгоритм" -- это и есть вот это самое "мельтешение" ]

Ох, как же я не люблю аналогии...

Можно, почему бы и нет. Хотя это будет немного не то, что мы привыкли называть алгоритмом. Мы привыкли называть так не мельтешения, а схему "мельтешений", по которой работают разные компьютеры, в том числе и биокомпьютеры (мозги).

[ ответы у разных машин совпали из-за того, что компьютеры имеют "общего эволюционного предка"? ]

Потому, что мы их одинаково запрограммировали. Аналогия - обучение студентов математике. Вы одинаково запрограммировали мозги студентов.

[padb.livejournal.com]

ТО, что мысль это результат работы мозга, это конечно правильно.
НО настораживает как вы просто сравниваете импульс в мозгу и мысль(т.е. физиологию и психическое)
и ставите знак равно. В науке нам показали, что вот посмотрите на монитор где изображен ваш мозг: вот вы подумали об облачке и вот активность мозга в это время, а вот вы подумали, как вы думали об облачке и вот. Как то так(не спорю есть много еще чего).
Сеченов рассматривал физиологические явления как основу психических, он не отождествлял психику с рефлексами (он сам предупреждал об этом). А вот на конференции ученых академии наук в 50х ему приписали рефлекторную концепцию психики, отождествлявшую психику с рефлексами(название книги"Рефлексы головного мозга" прочитали, а дальше решили не читать видимо).
ну это так уточнения.

Кстати тут у психологов в универе спрашивал, говорят, что идут работы и эксперименты по соотношению физиологического и психического(типа о мыслях и импульсах). О результатах не знаю.

[psilogic.livejournal.com]

[ название книги"Рефлексы головного мозга" прочитали, а дальше решили не читать видимо ]

погуглите, как называлась эта книга изначально - будет вам сюрприз ;)

[alisarin.livejournal.com]

5: философия давно (типо 2400 лет таму назад) дала определенный ответ - "двойка образует мир"; самим математикам (почему-то, я не понимаю) не свойственно понимать математику знанием миробразующего уровня - они придерживаются иллюзии, что математические решения носят субъективный характер.

А так вся органическая номенклатура в химии, по сути - чистая математика...

[nekroz.livejournal.com]

самим математикам (почему-то, я не понимаю) не свойственно понимать математику знанием миробразующего уровня

это зависит от периода
там было несколько "революций" во взглядах
Гедель с теоремой о неполноте, теория множеств, может что-то еще есть, но я забыл

[sezam_lj.livejournal.com]

Если я правильно понимаю, в таких случаях предполагается, что пресловутая стабильность результатов обеспечивается структурой окружающей среды, а не структурой мозга математика :) И в этом смысле "существует независимо".

[psilogic.livejournal.com]

И среды тоже.

[waspagv.livejournal.com]

Я только по пятому пункту не согласен. Математики строят модели не произвольно в надежде, что таковые случайно будут иметь следствия, полезные на практике. Они намеренно строят полезные модели. Аксиоматика, лежащая в основе таких моделей, не под действием грибов придумана, а выбрана так, чтобы аксиомы эти отражали некие наблюдаемые свойства Вселенной. Это в основном. Бывает, что любопытсво уводит слегка в сторону, но выводимые следствия оказываются полезными впоследствии. Ну и есть, конечно, категория так называемых чистых математиков, очень похожих в своей чистоте на философов. Они любят свои модели за их "внутреннюю красоту" и ни за что больше. О их "выдающихся трудах" мы узнает только если случайно(!), независимо от желания автора, они оказались полезны, может быть через сотню лет. Сколько таких внутренне красивых моделей канули в Лету за эту сотню лет - никто не считал. Примерно как у философов, которые, впрочем, "угадывают" чаще, поскольку пишут неопределенно.

большие размерности и большие числа

[falcao.livejournal.com]

> человек не в состоянии даже представить, опираясь на свой повседневный опыт, например, 11-мерное пространство

Случайно наткнулся на эту фразу, и захотелось возразить.

Давайте задумаемся над тем, какой смысл мы вкладываем в сам оборот "представить себе" что-то. Создаётся некая "умственная конструкция", и далее всё зависит от того, насколько эффективно мы с этим делом умеем работать. Мы верим в то, что двумерное или трёхмерное пространство мы себе хорошо представляем. За этим скрывается некий опыт, который мы приобрели в "обыденной" жизни. Фактически он сводится к некому умению быстро отвечать на простые вопросы, связанные с перемещением объекта на плоскости или в стереометрической ситуации. Но надо заметить, что уже при решении довольно сложных стереометрических задач приходится рисовать какие-то фрагменты, проводить сечения, исследовать некоторые детали. А "целиком" вся картина может и не ухватываться.

Так вот, 11-мерное координатное пространство каждый из нас может представить себе так же легко, как и любое другое. Представим себе 11 расположенных слева справо счётчиков, на каждом из которых высвечено некое число. Все эти показания меняются со временем. Они показывают координаты точки, движущейся в 11-мерном пространстве. Такое понимание является до некоторой степени "исчерпывающим". И никакого принципиального отличия от пространств "малой" размерности здесь нет. С таким же успехом мы могли бы сказать, что мы более или менее представляем себе числа порядка 7, 100 или даже миллиона, но плохо представляем себе что-то совсем огромное. Отчасти это верно, потому что со словом 100 у нас есть готовые ассоциации. Я вот сейчас пришёл из магазина, где разменял 100 рублей. А с числом типа "10^10^10^...^10" (10 раз) я не "зафренжен" столь "тесно". Но это не мешает мне его "представлять" до той степени, до какой это вообще возможно. Скажем, я знаю, что оно чётное, что оно больше триллиона, и что-то ещё. При желании я могу сказать о нём больше, если понадобится.

[sam-honsu.livejournal.com]

6. ...?
7. Profit