![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
О природе математических идей и формул
Мой камрад
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.
Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?
Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).
Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!
Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.
Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.
Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.
Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.
Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).
Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.
Как получается математика
Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).
Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.
Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.
Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.
Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)
В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.
Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.
Ценность математики
Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:
модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)
Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.
Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.
Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.
Итоговый FAQ
1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.
2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.
3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.
4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.
5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.
большие размерности и большие числа
Случайно наткнулся на эту фразу, и захотелось возразить.
Давайте задумаемся над тем, какой смысл мы вкладываем в сам оборот "представить себе" что-то. Создаётся некая "умственная конструкция", и далее всё зависит от того, насколько эффективно мы с этим делом умеем работать. Мы верим в то, что двумерное или трёхмерное пространство мы себе хорошо представляем. За этим скрывается некий опыт, который мы приобрели в "обыденной" жизни. Фактически он сводится к некому умению быстро отвечать на простые вопросы, связанные с перемещением объекта на плоскости или в стереометрической ситуации. Но надо заметить, что уже при решении довольно сложных стереометрических задач приходится рисовать какие-то фрагменты, проводить сечения, исследовать некоторые детали. А "целиком" вся картина может и не ухватываться.
Так вот, 11-мерное координатное пространство каждый из нас может представить себе так же легко, как и любое другое. Представим себе 11 расположенных слева справо счётчиков, на каждом из которых высвечено некое число. Все эти показания меняются со временем. Они показывают координаты точки, движущейся в 11-мерном пространстве. Такое понимание является до некоторой степени "исчерпывающим". И никакого принципиального отличия от пространств "малой" размерности здесь нет. С таким же успехом мы могли бы сказать, что мы более или менее представляем себе числа порядка 7, 100 или даже миллиона, но плохо представляем себе что-то совсем огромное. Отчасти это верно, потому что со словом 100 у нас есть готовые ассоциации. Я вот сейчас пришёл из магазина, где разменял 100 рублей. А с числом типа "10^10^10^...^10" (10 раз) я не "зафренжен" столь "тесно". Но это не мешает мне его "представлять" до той степени, до какой это вообще возможно. Скажем, я знаю, что оно чётное, что оно больше триллиона, и что-то ещё. При желании я могу сказать о нём больше, если понадобится.
слесари и щотчеги
То, что у "домохозяек" нет правильных представлений о многомерных пространствах, и что за этими вещами они могут видеть что-то "непостижимое уму" -- это вне всяких сомнений. Но ведь эти вещи в школах не изучают, поэтому нет ничего удивительно в таком положении дел.
Однако здесь имеет место не более чем массовое заблуждение. Какие-то математические объекты и в самом деле имеют сложное описание, но к арифметическим векторным пространствам это не относится. Я думаю, что где-то на производстве часто могут возникать ситуации, когда рабочий или лаборант следит за показаниями нескольких цифровых счётчиков. И, наверное, такой человек был бы весьма удивлён такой интерпретацией, что он, оказывается, наблюдает траекторию движения точки в N-мерном пространстве, где N -- число счётчиков! :)
Сама эта идея вообще-то и полезная, и простая для восприятия. Я не могу представить себе человека, который бы её не понял в результате объяснения.
А что Вы имели в виду под "округлением"? Так ли я понимаю, что имеется в виду какое-то представление о многомерном пространстве, которое было в итоге "округлено" (то есть искажено или упрощено)? Мне кажется, ничего такого как раз нет, потому что самого этого представления нет.