psilogic | О природе математических идей и формул

Entry tags:

О природе математических идей и формул

Мой камрад

falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).

Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Flat | Top-Level Comments Only

Да, я исхожу именно из такого представления.

"Идея" -- это нечто "из другого мира". То есть это что-то принципиально "имматериальное". Мы не можем её саму ни с чем конкретным "отождествить" -- в этом состоит некая проблема. Нельзя сказать, что "число пять" (как "платновская идея") -- это в точности вот эти 5 яблок или 5 ворон.

Но при этом каждый раз, когда мы сталкиваемся с ситуациями, в которых мы наблюдаем 5 отдельных и хорошо "локализуемых" предметов, можно сказать, что мы получаепм как бы "весточку" от этой "идеи". Лучше всего это именно так вот "метафорически" и понимать. "Идея" -- это такой непонятный "небесный юзер", о местонахождении которого нам ничего не известно, но мы от него то и дело получаем какие-то "мессиджи".

То есть "идея" -- это "юзер", а "мысль" -- это полученное нами от него "сообщение".

Хочу уточнить про независимость идеи. Т.е. идея существует, существовала и будет существовать независимо от нас, она было до нашего появления и до нашего существования ей нет никакого дела(конечно она может появляться в наших мыслях, но это ей необходимо)?
сразу второй вопрос: в каком отношении она существует к вещественному миру?

Да, конечно: "идее" нет никакого дела до "нас". Понятно, что если человечество исчезнет, то всё равно 2x2 окажется равно 4 -- независимо от того, осознаёт это кто-то или нет. Мы ведь не считаем, что если Землю постигнет "планетарная катастрофа" и все люди погибнут, то вместе с ними исчезнет Млечный Путь и всё прочее?

В отношении к "вещественному миру" всякая идея себя многократно проявляет. Именно по причине "множественности" таких проявлений, оказывается невозможным отождествить саму "идею" с чем-то конкретным. Я уже приводил примеры, когда "идея" какого-то числа "проявляет" себя в том, что в разных ситуациях возникают совокупности отдельных предметов, "измеряемых" данным числом. Это вполне объективное явление, которое может быть зарегистрировано приборами. Причём приборы (типа машинки для пересчёта денежных купюр) хотя и созданы человеком, но могут работать и без человеческого участия.

Или взять какие-нибудь кристаллы: они образуются по вполне "абстрактным" математическим законам, то есть в соответствии с вполне определёнными "идеями". И такого рода примеров имеется уйма. Во всех этих случаях можно сказать, что вот существует некая "объективная идея", и она себя как-то "проявила" в том или ином "материальном" процессе. Ничуть при этом к нему не "сводясь", а лишь как-то себя "выражая". Потому что она же проявляет себя и в массе других, внешне совсем непохожих ситуациях.

получается идея живет параллельно вещественному миру, т.е. только проявляет себя никак не воздействуя на вещественный мир(а тот в свою очередь на идею)?

идея как-то появляется или существует всегда, она всегда есть и неоткуда не появлялась, не развивалась?

Я бы здесь употребил не слово "живёт", а слово "пребывает". "Идея" -- это какой-то "кусочек" другого, "параллельного" мира, который "вечен" и "неизменен". Он не живёт, не развивается. В "вещественном мире", как было сказано выше, идеи себя "проявляют". Следовательно, можно эти проявления интерпретировать и как "воздействие". Например, под воздействием чего-то "вечного" типа "закона всемирного тяготения" (а это всего лишь данное нами имя определённой "идеи") произошло столкновение небесных тел. Чем не "воздействие"?

Вопрос о "генезисе" идей для меня лишён содержания. Это что-то из разряда того, "эволюционируют ли законы природы" (такой вопрос рассматривал когда-то Пуанкаре в одном из своих выступлений). Если допустить, что по понедельникам в мире выполнялся закон Ньютона в "обычной" форме, а по вторникам сила притяжения каким-то чудом имела другое значение гравитационной константы, то это всего лишь означало бы уточнение формулировки закона, а не его "изменчивость".

какой же мир является определяющим во взаимоотношении? неужели мир идей?

Нет, я исхожу здесь из принципа "взаимодополняемости". Такая философская позиция известна под названием "дуализма", хотя надо иметь в виду, что у него есть и такие разновидности, которые я не разделяю.

Так или иначе, утверждается сам принцип "несводимости" одного к другому. Имеет место как бы "параллельное" существование при отсутствии "главенства".

Надо только иметь в виду, что сам мир в каком-то смысле "един" (это уже "монистический" принцип), но мы сами, следуя традиции, выделяем в нём какие-то аспекты. И что-то мы привыкли представлять как "материальное" начало, а что-то -- как "идеальное". Хотя само это разделение несовершенно, но какую-то "правду" оно отражает.

В этом смысле, я считаю неудачными попытки оставить только "материальное". Потому что в рамках того же "диамата" признавались такие философские понятия как "абстракции", говорилось о "мировых законах". Но ведь это есть не что иное как "идеализм", который провозится "контрабандно". И проще всего здесь "легализовать" представления об "идеальном", потому что они активно используются и "работают". При этом всё "позитивное", что есть в материализме (типа неверия в "чертовщину" и прочую языческую дребеднь) от этого ничуть не "страдает".

что же такое идея(если это не материя, т.е. не объективная реальность, то это что-то субъективное? или вы не так определяете материю?)?
"2+2=4" это идея?
"закон Менделя" тоже идея?
идея "живет" через наши мысли, с нами? мы лишь носители? и не можем ничего придумать? лишь в-первые проявившаяся идея создает картину научного открытия?

Ответы на все эти вопросы станут очевидными, если исходить из следующей схемы.

Есть понятие "идеи", и есть понятие "мысли" -- как "идеи, уловленной нашим сознанием". Идея -- она как бы "сама по себе", и она "ничья". Мысль же рождается (или возникает) у кого-то в голове. Я исхожу из того, что если я подумал о чём-то, про что можно сказать "у меня в голове возникла такая-то мысль", то это означает "я уловил такую-то идею". Если я Вам сообщаю некую мысль -- например то, что 2x2=4, то Вы поймёте, о чём я говорю. Можно сказать, что я "сбросил" Вам ссылку на тот же "адрес", с которого я сам получил какую-то информацию. И Вы потом её получаете оттуда же.

Вот представьте себе, что кто-то Вас спросил: "2x2=4 -- это мысль или нет?" Вы, наверное, согласитесь, что это мысль -- пусть не новая, пусть всем известная, но это вполне конкретная мысль. Значит, на вопрос о том, "идея" ли это, можно тоже дать положительный ответ. Если высказываемое кем-то утверждение считается осмысленным, если в нём улавливается конкретное содержание, то за ним "скрывается" определённая идея. Или оно её "выражает". Здесь лучше не искать никакой "новизны": речь идёт о вещах, которые всем известны.

То же насчёт "закона Менделя": если я понял, о чём Вы говорите (то есть Вы как-то конкретизировали само утверждение), то я говорю: да, я понял высказанную Вами мысль. То есть Вы тем самым некую "идею" назвали "по имени".

Что касается "придумать": разумеется, мы ничего придумать не можем. Мы можем лишь "уловить" то, что где-то уже "есть", то есть принести или "скачать" из "небесной библиотеки". Я в каком-то из своих давних постов этот вопрос подробно разбирал. Вот композитор написал музыку. Её можно представить в виде текста, то есть, фактически, числа. Все числа, как Вы понимаете, существуют как бы "от природы". Нелепо было бы говорить, что я "создал" число 123...(многабукаф)...789: понятно, что оно всегда "было". Я лишь сделал его "предметом рассмотрения", обратил на него внимание. И публика, слушая в зале симфонию, занимается "созерцанием идеи".

Но понятно также, что "заслуга" композитора ничуть не становится меньше от такой интерпретации. Мы оцениваем один и тот же результат. Если кто-то раньше ценил "придуманное", а ему сказали, что он не "придумано", а "найдено", но обладает ровно теми же "ценимыми" свойствами, то это всего лишь повод для того, чтобы начать столь же высоко ценить и "найденное".

Слово "открытие", кстати, вполне подходящее. Вот открыл Колумб для европейцев Америку, и это "ценно". При том, что Америка (то есть то, что мы сейчас именуем этим словом) всегда "была". То же касается "открытия" (обнаружения) зарытых в земле сокровищ и всего прочего.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!

Наконец, мне осталось ответить на самый первый Ваш вопрос. Все такие вопросы имеют смысл в рамках какой-то концепции. Вы неявно используете концепцию "диамата", ссылаясь фактически на Ленина. Я ничего не имею против, но надо сделать две вещи. Первая: восстановить контекст самого этого высказывания, взятого из "Материализма и эмпириокритицизма". Вторая вещь: уточнить основные элементы той концепции, в рамках которой мы собираемся говорить об "идеях". Ведь такая концепция может отличаться от "диамата", который отрицает "объективное бытие идей".

Ленин писал в данном отрывке о том, что раньше "материю" наделяли какими попало свойствами -- наподобие обладания "массой" или чем-то ещё. Он предложил на это не обращать внимания. Есть какая-то частица, у неё что-то не то происходит с "массой". Кто-то говорит: "материя исчезает". Ленин возражает, говоря, что если под "материей" не понимать ничего "сверх нормы", то ничего не "исчезает" кроме наших несовершенных представлений о ней, что она "обязана", например, Маху, обладать какими-то свойствами. Она ничего не "обязана" кроме того, чтобы быть "объективной реальностью". За тем, что мы назвали "частицей", какое-то объективное явление осталось? Что-то ведь там происходит -- это ведь не "морок" нашего сознания, не "глюки"? Значит, это "материя".

Наконец, если мы выходим из рамок "диамата", то объективное существование идей постулируется (я имею в виду ту концепцию, которой я лично придерживаюсь). Этот постулат должен иметь какие-то основания, и мне кажется, что он таковые имеет. Ибо мы прекрасно понимаем на примерах каких-то отдельно взятых "идей" (типа уже упоминавшихся математических фактов), что это не наши "капризы" или "глюки", а отражение каких-то "свойств бытия". Поэтому о "субъективности" тут не может быть и речи. "Субъективность" может быть присуща лишь форме представления тех или иных идей.

(1) как я понял человек ничего не изобретает, а лишь улавливает идею о вещи, которую он как бы изобрел, отсюда выходит что бесконечность идей на много превышает бесконечность мира вещей(последняя как капля в море), т.к. изобрести можно что угодно, и мир идей не может полностью реализоваться в мире вещей из-за ограниченности последнего и ограниченности способностей человека. Как-то запутанно. Какая же тогда причина идей(почему они есть)? (и тех которые реализуются и тех которые никогда не реализуются)

(2) Если брать понятие материи как таковой(из диамата), то ещё Энгельс говорил, что это чистое создание мысли и абстракция. Поэтому и Ленин говорил, что нельзя материю искать в массе, нельзя сказать, что вишня это материя(с тем что вишня объективно есть никто не спорит), т.к. материя как таковая это лишь абстракция. Также мы не можем в природе найти плод вообще, плод как таковой, мы лишь можем найти яблоки, груши и т.п. В общем дело не в том, что "под материей не нужно понимать ничего сверх нормы".

О выходе за рамки диамата(или без выхода). А не получается ли, что то, что вы называете идеями, это объективные свойства вещей и мира, которые мы можем отражать в своем сознании?

По первому пункту: Вы до определённого момента как-то рассуждаете, и я, читая это, мысленно говорю себе что-то вроде "да, это именно так". Потом вступает в силу тезис о некой "запутанности". Этого я уже не понимаю: Вы вполне закономерно приходите к каким-то выводам, а потом как будто констатируете тот факт, что всё оказывается сложнее ожидаемого. Я бы здесь просто "скорректировал" сами "ожидания".

Дело в том, что какую бы совокупность объектов или предметов мы ни взяли, у них всегда имеется больше свойств, чем самих этих предметов. Вы фактически сформулировали это положение, которое представляет собой не что иное как математическую теорему. Она может быть и сформулирована, и доказана в самых "наистрожайших" терминах. Я даже в одном из своих постов когда-то излагал это дело, имея в виду то, что "идей" (а каждое свойство и есть в каком-то смысле "идея") всегда больше чем "объектов", и это в принципе неизбежно. Это мне представляется ещё одним доводом в пользу рассмотрения "идей" или "свойств" как чего-то "самостоятельного", "надмирного" (если иметь в виду "физический" мир).

Далее Вы говорите о "причинах", но мне снова хочется спросить: в рамках какой концепции Вы это говорите? Это термин из области "метафизики", которая явно недостаточна для обсуждения. Концепция "причинности" работает в крайне узкой области. Была бочка с бензином, она загорелась. Какова причина? Подразумевается, что "на ровном месте" бочки не загораются, то есть произошло некое "событие": кто-то зажжённый окурок бросил. Это уже лучше: "событие" -- вещь более понятная, нежели "причина". В этом смысле можно попытаться спросить, с какими событиями "физического мира" связана та или иная идея. У неё самой нет "причин", так как в мире идей не происходит никаких событий. И вопрос корректно адресовать не самой идее, а тому, как мы на неё "вышли".

В этом смысле "причиной" числа 127 можно объявить число 126, потому что это число возникло в нашем сознании в результате рассмотрения "натурального ряда", где за каждым числом находится следующее. Это нечто вроде "цепи причин". Вместе с тем, всегда есть числа, о которых заведомо никто не думал, которые никто не выписывал и так далее. Это к вопросу о "реализуемости".

Кстати, с этим связан забавный пример вроде бы идущий от Рассела. Он касается "неконструктивных доказательств". Исходя из конечности человеческой истории, мы можем сказать, что в любой момент истории найдутся числа, о которых никто никогда не думал. Но мы не можем предъявить ни одного конкретного примера, так как его рассмотрение тут же вступало бы в противоречие с самим декларируемым свойством! :)

То есть примеры заведомо существуют, но ни один из них нельзя предъявить.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!

Теперь по второму пункту. Когда говорится о понятии материи, то оно, разумеется, "абстрактно", как и любое другое понятие вообще. Но когда философ говорит о материи, или об "объективной реальности", то помимо слов, понятий, разговора и прочего есть САМА материя, сама реальность. Частью которой является и господин философ, которого мы с его бородой и прочим вряд ли отнесли бы к разряду "абстракций" :)

Вы в своём примере рассмотрели немного не то, что я. У Вас в центре внимания что-то вроде разницы между "означаемым" и "означающим". Нет сомнения, что это тоже важный аспект, но я говорил о конкретном известном месте из МЭ. Соответствующую цитату легко найти.

В последней свойе фразу Вы даёте совершенно чёткое описание того, что я понимаю под "идеей" на языке "диамата". Против такого толкования я не имею ничего против. По своему содержанию оно верно. Но это не означает принятия самих "догм" того же "диамата". Ведь он отрицает факт "объективного бытия" идей, и вдобавок норовит отождествить "идеальное" с "ментальным". Вещи существуют объективно, и их свойства столь же объективны. Если имеется n объектов, то у них в точности 2ⁿ свойств. И их можно явно перечислить. То, что наше сознание способно улавливать и отражать какие-то из этих свойств, ещё не повод для того, чтобы объявить эти свойства феноменами нашего сознания.

Вот что я в "диамате" полностью разделяю -- это тезис о "вторичности сознания". Но у меня получается так: "первично" -- "материальное + идеальное" (то есть вещи + их свойства, если угодно). Сознание -- всего лишь особенность "высокоразвитой материи", и оно что-то "отражает". При этом оставаясь "активным" и участвуя в "мировом процессе". Но это не есть что-то "системообразующее": мы ведь не выделяем в качестве "первичной" философской категории умение собаки лаять? Это всего лишь какая-то "частность", хотя она тоже как-то влияет на мир.

Flat | Top-Level Comments Only

О природе математических идей и формул

письмо с небес

Re: письмо с небес

проявление идей

Re: проявление идей

взаимоотношение двух "миров"

Re: взаимоотношение двух "миров"

дуализм

Re: дуализм

придумать или открыть? (1)

придумать или открыть? (2)

Re: придумать или открыть? (1 и 2)

общеонтологическое (1)

общеонтологическое (2)