![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
О природе математических идей и формул
Мой камрад
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.
Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?
Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).
Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!
Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.
Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.
Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.
Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.
Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).
Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.
Как получается математика
Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).
Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.
Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.
Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.
Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)
В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.
Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.
Ценность математики
Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:
модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)
Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.
Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.
Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.
Итоговый FAQ
1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.
2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.
3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.
4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.
5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.
дуализм
Так или иначе, утверждается сам принцип "несводимости" одного к другому. Имеет место как бы "параллельное" существование при отсутствии "главенства".
Надо только иметь в виду, что сам мир в каком-то смысле "един" (это уже "монистический" принцип), но мы сами, следуя традиции, выделяем в нём какие-то аспекты. И что-то мы привыкли представлять как "материальное" начало, а что-то -- как "идеальное". Хотя само это разделение несовершенно, но какую-то "правду" оно отражает.
В этом смысле, я считаю неудачными попытки оставить только "материальное". Потому что в рамках того же "диамата" признавались такие философские понятия как "абстракции", говорилось о "мировых законах". Но ведь это есть не что иное как "идеализм", который провозится "контрабандно". И проще всего здесь "легализовать" представления об "идеальном", потому что они активно используются и "работают". При этом всё "позитивное", что есть в материализме (типа неверия в "чертовщину" и прочую языческую дребеднь) от этого ничуть не "страдает".
Re: дуализм
"2+2=4" это идея?
"закон Менделя" тоже идея?
идея "живет" через наши мысли, с нами? мы лишь носители? и не можем ничего придумать? лишь в-первые проявившаяся идея создает картину научного открытия?
придумать или открыть? (1)
Есть понятие "идеи", и есть понятие "мысли" -- как "идеи, уловленной нашим сознанием". Идея -- она как бы "сама по себе", и она "ничья". Мысль же рождается (или возникает) у кого-то в голове. Я исхожу из того, что если я подумал о чём-то, про что можно сказать "у меня в голове возникла такая-то мысль", то это означает "я уловил такую-то идею". Если я Вам сообщаю некую мысль -- например то, что 2x2=4, то Вы поймёте, о чём я говорю. Можно сказать, что я "сбросил" Вам ссылку на тот же "адрес", с которого я сам получил какую-то информацию. И Вы потом её получаете оттуда же.
Вот представьте себе, что кто-то Вас спросил: "2x2=4 -- это мысль или нет?" Вы, наверное, согласитесь, что это мысль -- пусть не новая, пусть всем известная, но это вполне конкретная мысль. Значит, на вопрос о том, "идея" ли это, можно тоже дать положительный ответ. Если высказываемое кем-то утверждение считается осмысленным, если в нём улавливается конкретное содержание, то за ним "скрывается" определённая идея. Или оно её "выражает". Здесь лучше не искать никакой "новизны": речь идёт о вещах, которые всем известны.
То же насчёт "закона Менделя": если я понял, о чём Вы говорите (то есть Вы как-то конкретизировали само утверждение), то я говорю: да, я понял высказанную Вами мысль. То есть Вы тем самым некую "идею" назвали "по имени".
Что касается "придумать": разумеется, мы ничего придумать не можем. Мы можем лишь "уловить" то, что где-то уже "есть", то есть принести или "скачать" из "небесной библиотеки". Я в каком-то из своих давних постов этот вопрос подробно разбирал. Вот композитор написал музыку. Её можно представить в виде текста, то есть, фактически, числа. Все числа, как Вы понимаете, существуют как бы "от природы". Нелепо было бы говорить, что я "создал" число 123...(многабукаф)...789: понятно, что оно всегда "было". Я лишь сделал его "предметом рассмотрения", обратил на него внимание. И публика, слушая в зале симфонию, занимается "созерцанием идеи".
Но понятно также, что "заслуга" композитора ничуть не становится меньше от такой интерпретации. Мы оцениваем один и тот же результат. Если кто-то раньше ценил "придуманное", а ему сказали, что он не "придумано", а "найдено", но обладает ровно теми же "ценимыми" свойствами, то это всего лишь повод для того, чтобы начать столь же высоко ценить и "найденное".
Слово "открытие", кстати, вполне подходящее. Вот открыл Колумб для европейцев Америку, и это "ценно". При том, что Америка (то есть то, что мы сейчас именуем этим словом) всегда "была". То же касается "открытия" (обнаружения) зарытых в земле сокровищ и всего прочего.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!
придумать или открыть? (2)
Ленин писал в данном отрывке о том, что раньше "материю" наделяли какими попало свойствами -- наподобие обладания "массой" или чем-то ещё. Он предложил на это не обращать внимания. Есть какая-то частица, у неё что-то не то происходит с "массой". Кто-то говорит: "материя исчезает". Ленин возражает, говоря, что если под "материей" не понимать ничего "сверх нормы", то ничего не "исчезает" кроме наших несовершенных представлений о ней, что она "обязана", например, Маху, обладать какими-то свойствами. Она ничего не "обязана" кроме того, чтобы быть "объективной реальностью". За тем, что мы назвали "частицей", какое-то объективное явление осталось? Что-то ведь там происходит -- это ведь не "морок" нашего сознания, не "глюки"? Значит, это "материя".
Наконец, если мы выходим из рамок "диамата", то объективное существование идей постулируется (я имею в виду ту концепцию, которой я лично придерживаюсь). Этот постулат должен иметь какие-то основания, и мне кажется, что он таковые имеет. Ибо мы прекрасно понимаем на примерах каких-то отдельно взятых "идей" (типа уже упоминавшихся математических фактов), что это не наши "капризы" или "глюки", а отражение каких-то "свойств бытия". Поэтому о "субъективности" тут не может быть и речи. "Субъективность" может быть присуща лишь форме представления тех или иных идей.
Re: придумать или открыть? (1 и 2)
(2) Если брать понятие материи как таковой(из диамата), то ещё Энгельс говорил, что это чистое создание мысли и абстракция. Поэтому и Ленин говорил, что нельзя материю искать в массе, нельзя сказать, что вишня это материя(с тем что вишня объективно есть никто не спорит), т.к. материя как таковая это лишь абстракция. Также мы не можем в природе найти плод вообще, плод как таковой, мы лишь можем найти яблоки, груши и т.п. В общем дело не в том, что "под материей не нужно понимать ничего сверх нормы".
О выходе за рамки диамата(или без выхода). А не получается ли, что то, что вы называете идеями, это объективные свойства вещей и мира, которые мы можем отражать в своем сознании?
общеонтологическое (1)
Дело в том, что какую бы совокупность объектов или предметов мы ни взяли, у них всегда имеется больше свойств, чем самих этих предметов. Вы фактически сформулировали это положение, которое представляет собой не что иное как математическую теорему. Она может быть и сформулирована, и доказана в самых "наистрожайших" терминах. Я даже в одном из своих постов когда-то излагал это дело, имея в виду то, что "идей" (а каждое свойство и есть в каком-то смысле "идея") всегда больше чем "объектов", и это в принципе неизбежно. Это мне представляется ещё одним доводом в пользу рассмотрения "идей" или "свойств" как чего-то "самостоятельного", "надмирного" (если иметь в виду "физический" мир).
Далее Вы говорите о "причинах", но мне снова хочется спросить: в рамках какой концепции Вы это говорите? Это термин из области "метафизики", которая явно недостаточна для обсуждения. Концепция "причинности" работает в крайне узкой области. Была бочка с бензином, она загорелась. Какова причина? Подразумевается, что "на ровном месте" бочки не загораются, то есть произошло некое "событие": кто-то зажжённый окурок бросил. Это уже лучше: "событие" -- вещь более понятная, нежели "причина". В этом смысле можно попытаться спросить, с какими событиями "физического мира" связана та или иная идея. У неё самой нет "причин", так как в мире идей не происходит никаких событий. И вопрос корректно адресовать не самой идее, а тому, как мы на неё "вышли".
В этом смысле "причиной" числа 127 можно объявить число 126, потому что это число возникло в нашем сознании в результате рассмотрения "натурального ряда", где за каждым числом находится следующее. Это нечто вроде "цепи причин". Вместе с тем, всегда есть числа, о которых заведомо никто не думал, которые никто не выписывал и так далее. Это к вопросу о "реализуемости".
Кстати, с этим связан забавный пример вроде бы идущий от Рассела. Он касается "неконструктивных доказательств". Исходя из конечности человеческой истории, мы можем сказать, что в любой момент истории найдутся числа, о которых никто никогда не думал. Но мы не можем предъявить ни одного конкретного примера, так как его рассмотрение тут же вступало бы в противоречие с самим декларируемым свойством! :)
То есть примеры заведомо существуют, но ни один из них нельзя предъявить.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!
общеонтологическое (2)
Вы в своём примере рассмотрели немного не то, что я. У Вас в центре внимания что-то вроде разницы между "означаемым" и "означающим". Нет сомнения, что это тоже важный аспект, но я говорил о конкретном известном месте из МЭ. Соответствующую цитату легко найти.
В последней свойе фразу Вы даёте совершенно чёткое описание того, что я понимаю под "идеей" на языке "диамата". Против такого толкования я не имею ничего против. По своему содержанию оно верно. Но это не означает принятия самих "догм" того же "диамата". Ведь он отрицает факт "объективного бытия" идей, и вдобавок норовит отождествить "идеальное" с "ментальным". Вещи существуют объективно, и их свойства столь же объективны. Если имеется n объектов, то у них в точности 2n свойств. И их можно явно перечислить. То, что наше сознание способно улавливать и отражать какие-то из этих свойств, ещё не повод для того, чтобы объявить эти свойства феноменами нашего сознания.
Вот что я в "диамате" полностью разделяю -- это тезис о "вторичности сознания". Но у меня получается так: "первично" -- "материальное + идеальное" (то есть вещи + их свойства, если угодно). Сознание -- всего лишь особенность "высокоразвитой материи", и оно что-то "отражает". При этом оставаясь "активным" и участвуя в "мировом процессе". Но это не есть что-то "системообразующее": мы ведь не выделяем в качестве "первичной" философской категории умение собаки лаять? Это всего лишь какая-то "частность", хотя она тоже как-то влияет на мир.