О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

Re: Большой Мировой Компьютер

[psilogic.livejournal.com]

[ Но эти обстоятельства не отменяют самого наличия "домыслов", без которых невозможно никакое исследование. ]

В данном случае - возможно.

[ Будем говорить, что "первичны" именно тексты, и что если бы их не было, то и в "мозгах" ничего бы не "индуцировалось". ]

С точки зрения банальной интуиции... бгг... это будет странно, т.к. в мозгах больше, чем только тексты. Хотя, занимаясь математикой, которая вся построена вокруг символов, - этого можно не замечать.

[ Мне в данном случае интересно понять, какие явления Вы бы сочли достаточными для утверждения о том, что и машина тоже может "мыслить". ]

Это нечеткий термин (в смысле нечеткой логики) или как парадокс о куче. По мере приближения способностей компьютера к способностям человека в какой-то момент возникнет интуитивное ощущение, что вот это - да, это - уже мышление (уже куча). А пока компьютеры устроены иначе и заточены под решение другого круга задач, такого ощущения нет.

[ Я до сих пор не понимаю, что при этом имелось в виду. ]

Не берите в голову - тот студент явно сам не понимал, что имел в виду. :)

гербарий

[falcao.livejournal.com]

Это два совершенно разных вопроса: о допустимости "домыслов" как таковых, и о том, нужны ли они для какой-то конкретной деятельности. На первый вопрос, мне кажется, ответ не вызывает сомнений. А на второй -- это может зависеть от специфики самой деятельности. Вам зачем-то хочется устранить из схем познания категорию "идеального". Я, как Вы знаете, самого этого "позыва" не разделяю. Вот Вы когда программу пишете, то руководствуетесь каким-то замыслом, какими-то "идеями" (в "расхожем" смысле слова), и в результате рождается какой-то текст. Он в какой-то мере "содержит" всю информацию о процессе или результате. То же касается написанного текста математической статьи. Но ведь Вы понимаете, что автор статьи или программы в каком-то смысле знал или понимал больше, чем "рядовой читатель". Значит, что-то ценное осталось "за кадром". Оно оказалось "обессмыслено", его не удалось "донести". Если читатель будет внимательно читать, вдумываться, "коннектиться" с какими-то "идеями" (уже в моём смысле слова), то он всё сможет, наверное, восстановить. Но сама необходимость такой работы говорит о том, что в "высушенном" или "формализованном" виде содержится меньше ценного.

Мне кажется, Вы предлагаете заменить "живые" листья на деревьях каким-то "гербарием". Да, такой гербарий представляет ценность и он позволяет изучать сами листья. Но при этом происходят и очевидные "потери". И уж совсем недопустимо "живой процесс" отождествлять с "высушенным итогом".

По поводу мышления человека и машин: если Вы исходите здесь из чисто интуитивных представлений, то я не имею ничего против. Мы видим, что человек на данный момент умеет как бы "больше", чем машина. Он легко справляется с какими-то задачами типа узнавания в толпе, а для машины мы не умеем пока такие алгоритмы создавать. Но это не значит, что мышление человека основано на каких-то процессах принципиально "нецифровой" (или "нетекстовой" природы).

Сейчас остановлюсь на одном "побочном" моменте. Он тут ярко проявился. Вы говорите о неком термине как о "нечётком", и ссылаетесь на "парадокс кучи". Мне кажется, это вполне допустимая и исчерпывающая аргументация. Но Вам зачем-то нужно косвенно сослаться на "авторитет науки" в виде концепции "нечёткой логики". При этом ни на какие конкретные результаты Вы явно не ссылаетесь. Сама эта концепция имеет в основе некие вполне реальные и всем известные "нечёткие" понятия или процессы. То есть их существование этим уже признано, и сама "теория" ровно ничего нового к ним не добавляет. Если бы этих процессов не было, то теория фактически оказалась бы лишённой содержания. Тогда зачем нужен "реверанс" в эту сторону?

Я это написал в качестве дополнительного подтверждения того факта, что для Вас имеет какое-то особое значение так называемая "научность".

И последнее: я считаю, что в современных условиях, говоря о мышлении человека, удобнее исходить из более новой схемы. А именно, когда-то давно человек был "образцом" мышления, потому что ничего другого "мыслящего" в пределах видимости указать было нельзя. Но потом появились компьютеры. Они становились всё мощнее и мощнее, по многим "параметрам" они оставили человека далеко позади. И хотя они его "догнали и перегнали" далеко не во всём, но представляется естественным мышление человека рассматривать как процессы в неком "биокомпьютере". Помимо "процессора", так есть ещё всякие "датчеги", которые берут информацию из "окружающей среды". Это то, что раньше называли "органами чувств". Я к тому, что эта схема выглядит намного удобнее, и желательно её придерживаться там, где это возможно. А от "архаичных" способов выражения мысли можно бы и отказаться.

Кстати, это один из немногих вопросов, где я более "материалистичен" и "технократичен" даже по сравнению с Вами. Мне как-то совсем легко отказаться от "гуманизма", то есть от веры в то, что человек есть нечто "исключительное" среди прочих природных явлений.

Re: гербарий

[psilogic.livejournal.com]

[ Вам зачем-то хочется устранить из схем познания категорию "идеального". ]

По нескольким причинам.
1. Упростить схему (бритва Оккама)
2. Показать необязательность философских понятий для такого вопроса
3. Устранить фантомы (понятия, которые не несут в себе "физического" смысла, но могут запутывать)

[ Мне кажется, Вы предлагаете заменить "живые" листья на деревьях каким-то "гербарием". ]

Я не понял, почему Вы стали рассуждать о том, что в тексте содержится меньше информации, чем в голове автора - вроде это и так понятно. Я говорил о том, что информация, закодированная в тексте, вторична по отношению к замыслу, и Вы, вроде бы, говорите о том же.

Кроме того замечу такую вещь: когда рассматривается информация, то для нее как правило есть носитель и обработчик, который распознает эту информацию с носителя и что-то с ней делает. Носитель без обработчиков смысла не имеет, и то, что на носителе даже нельзя назвать информацией в "программистском" смысле. Так вот бумага или звуки речи - это носитель, а комп или человек - обработчики, т.е. штуковины принципиально иного порядка.

[ Но это не значит, что мышление человека основано на каких-то процессах принципиально "нецифровой" (или "нетекстовой" природы). ]

Тут, похоже, есть непонимание. Для меня слово "текст" неявно подразумевает, что есть язык, то есть, система перекодирования информации в удобные символы и обратно. Т.е. совсем не то.