psilogic | О природе математических идей и формул

Мой камрад

falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).

Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Flat | Top-Level Comments Only

Так где же он есть этот абстрактный #$%, кроме как на заборе и в глазах читаюшего? Откуда он берется и что он из себя представляет? :-)

Когда собака хочет есть, она не думает об абстрактном процессе еды, она просто вполне конкретно голодна. Это, мне кажется, уже мы придумали абстрактную идею еды, мысль, которую можно передать на письме, на экране или в форме звонка. Для собаки существует только конкретная еда в конкретный момент, отличная от другой еды в другой момент.

Я понимаю, что Вы считаете идеи предсуществующими, а нас наделяете свойством уловителей этих идей. Так это или не так - сильно подозреваю, что это вопрос нерешаемый в принципе.

Однако, интересно, что по сравнению с дискуссией о (не)обходимости выделения сущностей мы тут в некотором смысле поменялись ролями :-)

Вы всё поняли совершенно верно, и я с Вами совершенно согласен по каждому из утверждений (с одним маленьким уточнением).

Вы спрашиваете: где "абстрактный $$%"? Кто-то здесь мог бы "скаламбурить", но я не буду этого делать, потому что вопрос вполне серьёзный. Любой "идеалист" сразу же скажет, что "идеи", включая эту, обитают в "особом мире". Поэтому "здесь" что-то такое искать бесполезно. А на заборе и в сознании мы видим не саму "идею", а лишь её "след" или "отзвук". И понятно, что мы не можем её отождествить ни с каким конкретным проявлением, потому что на другом заборе будет другая надпись из тех же букв. Но "идею" она отражает ровно ту же.

То есть тут фактически постулируется некое "начало", некая "сущность", которая стоИт (опять "каламбур" -- вот ведь словцо-то попалось! :)) как бы "над" всеми своими "проявлениями".

Верно и то, что это мы что-то "придумали" по поводу собаки. Конечно, она просто голодна, и о Платоне не вспоминает. Но ведь ровно так же обстоит дело со всем остальным. Если собаку сбросить с высоты, то мы скажем, что на неё действует сила гравитации. А кто-то может возразить: да бросьте, она просто падает!

Насчёт вопроса, "нерешаемого в принципе" -- и здесь Вы правы на 100%. Но это говорится изначально: этот вопрос не имеет статуса "естественнонаучной" верифицируемой истины. Причём ни в ту, ни в другую сторону. Равно как и вопрос о Боге, который вообще-то почти не отличим от обсуждаемого нами.

Я такую параллель проведу: вот в геометрии с какого-то момента "победила" концепция, что плоскость (а также все фигуры) "состоит" как бы из отдельных точек. Идея очень нетривиальная для того "допотопного" сознания. У людей могли возникнуть вопросы, а как точки потом "сами по себе" будут "держаться", и многое другое. Но сейчас никто себе по-другому геометрию и не представляет. А "исторически" всё было в некотором смысле наоборот: к понятию точки "шли" через "знакомое" понятие фигуры, считая точку "совсем-совсем маленькой во всех отношениях фигурой". Здесь ещё один "напряг": надо было свою мысль "настроить" так, чтобы понять, что в результате фигура не исчезает совсем, не вырождается в "ничто", а от неё остаётся именно одна точка.

Это я привёл ещё один пример вещей, которые "принципиально непроверяемы". Но при этом они создают нужную "канву", нужный "интерфейс" для разговора о вещах. То же самое касается "мира идей".

Последнее замечание меня вообще привело в восторг, потому что я сам не вспоминал здесь о той дискуссии. И Ваше наблюдение абсолютно справедливо! А "смена ролей" тут более чем закономерна, но это потому, что принятие "идеалистической концепции" (которая, как я пытаюсь Вас убедить, совершенно "безвредна") тут же снимает вопрос о "выделении понятий". Я ведь почему об этом спрашивал у И-П? Потому что у меня этот вопрос не возникал. И я хотел понять, за счёт чего он возникал у других. Предположительно, как раз из-за того, что люди не приняли удобную "идеалистическую" концепцию. И поэтому перед ними возникают такие "псевдовопросы" типа "а как точки будут держаться"? Ясно же, что "волею Господа", а как же иначе?

О природе математических идей и формул

Re: увязка

безвредная концепция