Проект "логика для чайников" - параграф 16
Jan. 5th, 2007 07:01 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicОснования логики
Как-то раз у меня разыгрался спор со знакомыми на тему, что составляет основу современной логики. Наверное, можно сказать, что логика составляет основу математики. Так сказать, маленькое ядро большой системы. Вся математика очень логична, тщательно соблюдает законы логики. Но вот сама логика – какая ее часть является основной, базовой?
Мои знакомые настаивали на том, что основу составляет двузначная логика, конкретно в форме булевой алгебры.
Вполне характерное заявление для людей, имеющих понятие о работе современного компьютера. Это мнение имеет под собой основания, взятые из практики. Элементы, реализующие функции булевой алгебры, составляют основу электроники компьютера. С помощью них реализуется все прочее. Ну а поскольку компьютер можно научить самым разным вещам, то напрашивается вывод: все остальное тоже можно построить на базе булевой алгебры.
Это мнение, я бы сказал, отражает не столько реальное положение дел в логике, сколько представление компьютерщиков о том, какой должна быть логика или какой они хотят ее видеть. А, может быть, и то, какой она будет. Поскольку наша компьютерная братия стала весьма многочисленной, то нельзя сбрасывать со счетов ее влияние.
Но все же компьютеры появились сравнительно недавно. Чтобы понять, какие еще идеи могут претендовать на звание основы логики, обратимся к истории.
Рождение европейской логики обычно связывают с именем Аристотеля, жившего еще до нашей эры. У него впервые появляются формально строгие логические рассуждения.
А потом наступила эра двухтысячелетнего застоя. Вообще застой в науке часто связывают с религиозным мракобесием. Но вот пришла эпоха Возрождения. Вот уже завершилась и эпоха Просвещения, а в логике по-прежнему – тишь да гладь. Лишь подспудные споры схоластов едва колеблют поверхность темных религиозного омута.
И лишь в 1847 английский математик Джордж Буль опубликовал работу, которая имела форму памфлета. Он высказывал и обосновывал мнение, что логика гораздо ближе к математике, чем к философии. Полушутя полусерьезно хочу сказать, что Дж. Буль, видимо, был первым антифилософом. Работа Буля положила начало освобождению логики из болота философии и привела, наконец-то, к дальнейшему развитию.
Это развитие было особенно бурным на рубеже XIX-XX веков. Свои имена в историю математики навеки вписали Буль и Морган (как основоположники), Фреге и Пирс (как изобретатели кванторов и предикатов), Пеано, Рассел, Гильберт, Чёрч, Клини, Бернайс и многие другие.
В наше время логика вышла за рамки математики и вторглась в инженерную область. Математическая логика стала основой компьютерной техники. Логичные железяки исправно служат людям, многие из которых остаются столь же нелогичными, как их неграмотные средневековые предки.
Еще до появления булевой алгебры была изобретена теория вероятностей (на жаргоне - “теорвер”). Когда Джордж Буль писал свою книгу “Законы мышления”, то активно использовал теорвер именно как основу для логики. Сейчас редко можно услышать, чтобы теорию вероятностей прямо относили к логике. Я горячий сторонник этой идеи, и попытаюсь ее в меру своих сил обосновать, когда речь зайдет о теорвере.
Со времен древних греков в математике использовалась система, включающая в себя аксиомы, теоремы и последовательный вывод утверждения одного из другого. Самая известная система аксиом – Евклидова геометрия. Но вообще-то вся без исключения математика следует и следовала примерно тем же принципам. Может быть, это не было сделано так явно, как в геометрии, но, тем не менее.
Надо было как-то описать математически сам процесс вывода для любой схемы, где начинают от аксиом и последовательно идут к теоремам. Большую роль в этом деле сыграли Пеано, Гильберт и Гёдель. Описанный процесс вывода назвали “аксиоматическим методом”, “дедуктивным методом” или просто “дедукцией”. Была предпринята попытка переформулировать в рамках дедукции всю математику. Эта попытка оказалась более-менее успешной, в результате чего дедуктивный метод тоже может претендовать на роль ядра логики.
Наконец, еще одна базовая логическая система – это множества. В настоящее время понятие множества может быть сформулировано в терминах дедукции, например, на основе аксиом Цермело-Френкеля (система ZF) или Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG). В этих аксиомах активно используются значки булевых операций. Таким образом, булева алгебра и дедукция и тут оказываются “замешаны” в самых основах.
Само понятие “множество” оказывается тесно связано с языком, который (по современным представлениям психологов) составляет саму основу мышления. Каждое слово, каждое понятие – это, в каком-то смысле, множество. Скажем, слово “яблоко” или понятие “яблоко” включает в себя множество всех яблок. В математике и логике множества встречаются буквально на каждом шагу.
Так что вопрос о том, что “главнее” – множества или дедукция, или булева алгебра – это “дело тонкое, Петруха”. В какой-то мере это дело вкуса и зависит от того, каким критериям мы отдаем предпочтение – психологическим, историческим, математическим или еще каким-то. По-видимому, все важно.
Подводя итоги, я хочу сделать вывод, что логика стоит на трех китах: на дедукции, на множествах и на булевой алгебре. Возможно, где-то там плавает и четвертый кит – теория вероятностей.
Далее я собираюсь перейти к популярному рассмотрению этих разделов в той части, которая может иметь практическое применение вне математики, в повседневной реальной жизни. Начну я с дедукции.
Как-то раз у меня разыгрался спор со знакомыми на тему, что составляет основу современной логики. Наверное, можно сказать, что логика составляет основу математики. Так сказать, маленькое ядро большой системы. Вся математика очень логична, тщательно соблюдает законы логики. Но вот сама логика – какая ее часть является основной, базовой?
Мои знакомые настаивали на том, что основу составляет двузначная логика, конкретно в форме булевой алгебры.
Вполне характерное заявление для людей, имеющих понятие о работе современного компьютера. Это мнение имеет под собой основания, взятые из практики. Элементы, реализующие функции булевой алгебры, составляют основу электроники компьютера. С помощью них реализуется все прочее. Ну а поскольку компьютер можно научить самым разным вещам, то напрашивается вывод: все остальное тоже можно построить на базе булевой алгебры.
Это мнение, я бы сказал, отражает не столько реальное положение дел в логике, сколько представление компьютерщиков о том, какой должна быть логика или какой они хотят ее видеть. А, может быть, и то, какой она будет. Поскольку наша компьютерная братия стала весьма многочисленной, то нельзя сбрасывать со счетов ее влияние.
Но все же компьютеры появились сравнительно недавно. Чтобы понять, какие еще идеи могут претендовать на звание основы логики, обратимся к истории.
Рождение европейской логики обычно связывают с именем Аристотеля, жившего еще до нашей эры. У него впервые появляются формально строгие логические рассуждения.
А потом наступила эра двухтысячелетнего застоя. Вообще застой в науке часто связывают с религиозным мракобесием. Но вот пришла эпоха Возрождения. Вот уже завершилась и эпоха Просвещения, а в логике по-прежнему – тишь да гладь. Лишь подспудные споры схоластов едва колеблют поверхность темных религиозного омута.
И лишь в 1847 английский математик Джордж Буль опубликовал работу, которая имела форму памфлета. Он высказывал и обосновывал мнение, что логика гораздо ближе к математике, чем к философии. Полушутя полусерьезно хочу сказать, что Дж. Буль, видимо, был первым антифилософом. Работа Буля положила начало освобождению логики из болота философии и привела, наконец-то, к дальнейшему развитию.
Это развитие было особенно бурным на рубеже XIX-XX веков. Свои имена в историю математики навеки вписали Буль и Морган (как основоположники), Фреге и Пирс (как изобретатели кванторов и предикатов), Пеано, Рассел, Гильберт, Чёрч, Клини, Бернайс и многие другие.
В наше время логика вышла за рамки математики и вторглась в инженерную область. Математическая логика стала основой компьютерной техники. Логичные железяки исправно служат людям, многие из которых остаются столь же нелогичными, как их неграмотные средневековые предки.
Еще до появления булевой алгебры была изобретена теория вероятностей (на жаргоне - “теорвер”). Когда Джордж Буль писал свою книгу “Законы мышления”, то активно использовал теорвер именно как основу для логики. Сейчас редко можно услышать, чтобы теорию вероятностей прямо относили к логике. Я горячий сторонник этой идеи, и попытаюсь ее в меру своих сил обосновать, когда речь зайдет о теорвере.
Со времен древних греков в математике использовалась система, включающая в себя аксиомы, теоремы и последовательный вывод утверждения одного из другого. Самая известная система аксиом – Евклидова геометрия. Но вообще-то вся без исключения математика следует и следовала примерно тем же принципам. Может быть, это не было сделано так явно, как в геометрии, но, тем не менее.
Надо было как-то описать математически сам процесс вывода для любой схемы, где начинают от аксиом и последовательно идут к теоремам. Большую роль в этом деле сыграли Пеано, Гильберт и Гёдель. Описанный процесс вывода назвали “аксиоматическим методом”, “дедуктивным методом” или просто “дедукцией”. Была предпринята попытка переформулировать в рамках дедукции всю математику. Эта попытка оказалась более-менее успешной, в результате чего дедуктивный метод тоже может претендовать на роль ядра логики.
Наконец, еще одна базовая логическая система – это множества. В настоящее время понятие множества может быть сформулировано в терминах дедукции, например, на основе аксиом Цермело-Френкеля (система ZF) или Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG). В этих аксиомах активно используются значки булевых операций. Таким образом, булева алгебра и дедукция и тут оказываются “замешаны” в самых основах.
Само понятие “множество” оказывается тесно связано с языком, который (по современным представлениям психологов) составляет саму основу мышления. Каждое слово, каждое понятие – это, в каком-то смысле, множество. Скажем, слово “яблоко” или понятие “яблоко” включает в себя множество всех яблок. В математике и логике множества встречаются буквально на каждом шагу.
Так что вопрос о том, что “главнее” – множества или дедукция, или булева алгебра – это “дело тонкое, Петруха”. В какой-то мере это дело вкуса и зависит от того, каким критериям мы отдаем предпочтение – психологическим, историческим, математическим или еще каким-то. По-видимому, все важно.
Подводя итоги, я хочу сделать вывод, что логика стоит на трех китах: на дедукции, на множествах и на булевой алгебре. Возможно, где-то там плавает и четвертый кит – теория вероятностей.
Далее я собираюсь перейти к популярному рассмотрению этих разделов в той части, которая может иметь практическое применение вне математики, в повседневной реальной жизни. Начну я с дедукции.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Как-то раз у меня разыгрался спор со знакомыми на тему,
Date: 2007-01-05 04:26 pm (UTC)Re: Как-то раз у меня разыгрался спор со знакомыми на тем
Date: 2007-01-05 04:36 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 04:58 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 05:18 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 05:58 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 06:55 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 07:30 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 08:37 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 05:17 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 12:41 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 02:51 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 03:31 pm (UTC)еще НЕ понадобится
no subject
Date: 2007-01-06 03:58 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 05:55 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 09:06 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 09:23 pm (UTC)то то же. обломись :)
no subject
Date: 2007-01-07 04:46 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-07 01:39 pm (UTC)а мне то зачем? я не пытаюсь сводить математическое понятие к физическому устройству
no subject
Date: 2007-01-07 01:52 pm (UTC)просто отзыв,!
Date: 2007-01-05 07:15 pm (UTC)(подумал, напишу отзыв.. порадую крокодило... не все же время молча читать=)
Re: просто отзыв,!
Date: 2007-01-05 07:26 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 09:03 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-05 11:00 pm (UTC)но вообще-то тут "дедукция" в другом смысле. я об этом завтра напишу
no subject
Date: 2007-01-06 11:15 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 01:33 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 06:09 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-06 07:04 pm (UTC)Вы то сами что на эту тему думаете?
no subject
Date: 2007-01-06 07:15 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-09 01:05 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-09 01:46 pm (UTC)А парадокс Рассела решается в двузначной логике, похожей на булеву алгебру, так.
Дано множество M, элементами которого являются множества, не принадлежащие себе.
Для описания нам для начала понадобится предикат принадлежности: In(x,y). Он равен false, когда x не принадлежит множеству y и true, когда принадлежит.
Согласно условию, принадлежность x к M сводится к непринадлежности x к x. То есть:
In(x, M) <=> ~In(x, x)
При x = M получим:
In(M, M) <=> ~In(M, M)
Если обозначить In(M, M) = z, получим:
z <=> ~z
Эта формула в булевой алгебре равна false.
Вывод - само утверждение, что "элементами множества M являются множества, не принадлежащие себе" будет ложно по крайней мере при x = M. То есть, где-то "наврал" уже тот, кто составлял определение. Соврал хотя бы в одном из слов определения. Классики предполагали, что вранье заключается в слове "множество". Дескать, M - вовсе не множество.
no subject
Date: 2007-01-09 02:24 pm (UTC)