Проект "логика для чайников" - параграф 17
Jan. 6th, 2007 06:20 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicДедукция
Дедукцией иногда называют переход от общего к частному. Скажем, из того, что у всех людей есть голова, следует, что у Василия Пупкина тоже есть голова. Дедукции противопоставляется индукция – обобщение на основе частных случаев. Например, мы смотрим личные дела сотрудников предприятия и каждый раз обнаруживаем, что сотрудник – мужчина. Просмотрев все дела, на основании рассмотрения этих конкретных (частных) случаев мы приходим к общему выводу, что коллектив данного предприятия – чисто мужской.
Также слово “дедукция” у многих ассоциируется с Шерлоком Холмсом. В своих расследованиях он часто ссылается на “дедуктивный метод”. Описывает он его примерно так: если исключены все версии, кроме одной, то эта последняя версия и есть истина, какой бы странной она ни была.
В математике дедукция и дедуктивный метод – гораздо более широкое понятие. Оно включает в себя и метод Шерлока Холмса, и те дедукцию с индукцией, которые я упомянул в первом абзаце. В математике есть не только своя дедукция, но и своя индукция, тоже другая. Причем, математическая индукция вовсе не противопоставляется дедукции, а является одним из ее правил. Надеюсь, я вас достаточно запутал, теперь попробую распутать.
Забудем на минутку обо всех дедукциях, кроме математической. Есть несколько понятий: "дедукция", "дедуктивная система", "дедуктивный метод", "аксиоматическая система", "аксиоматический метод", "аксиоматика", "исчисление высказываний", "логическое исчисление", "пропозициональное исчисление".
Так вот, все перечисленное – это по большому счету одно и то же.
В чем же заключается дедукция? Это метод. Чтобы определить метод, я перечислю все требования, которые к нему предъявляются.
1. Метод работает с формулами.
Нет никаких ограничений на то, что считать формулой, кроме одного: метод сам должен четко и строго это определить. Например, формулами могут быть обычные математические формулы, какие-нибудь тексты, серии значков. Все что угодно, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот это – формула, а вот это – уже не формула.
2. Метод указывает правила вывода.
Правило вывода – это правило, по которому можно одну группу формул связать с другой группой формул. Пример одного правила вывода мы видели у Шерлока Холмса. В его случае формулы – это утверждения насчет версий. Пусть у него есть три версии: A, B, C. Например, A – убийство, B – самоубийство, C – несчастный случай. Пусть он исключил версии A и C. Тогда он имеет право перейти к версии B как единственно истинной. Правило вывода будет выглядеть примерно так:
Если известно, что
“возможны только три взаимоисключающие версии: A, B, C”
(в кавычках формула F1)
и
“версия A исключена”
(в кавычках формула F2)
и
“версия C исключена”
(в кавычках формула F3),
то
“версия B истинна”
(в кавычках формула F4).
При этом неважно, какие конкретные версии стоят на месте A, B и C. В любом случае, в любом деле, которое распутывает Холмс, правило вывода позволяет перейти от формул F1, F2, F3 к формуле F4. Заметим, что “формулы” в данном случае – это не абстрактные математические формулы, а обычные фразы, возможные в реальной жизни.
Переход от одной группы формул к другой группе формул (согласно какому-нибудь правилу вывода) называется “дедуктивным переходом”, “шагом дедукции”, “шагом вывода”.
Математика не накладывает каких-либо ограничений на правила вывода, кроме одного: метод должен четко и строго определять все эти правила. Какие угодно, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот здесь дедуктивный переход был сделан строго по правилу, а вот здесь правило было нарушено.
3. Метод допускает дедуктивные переходы только от доказанных формул. Новые формулы тоже становятся доказанными.
Это тоже своего рода правило вывода, но я его записал отдельно. Почему? Только потому, что оно – едино для всей математики. Другие правила вывода могут отвергаться или приниматься там или тут, но это – незыблемо. Его даже не перечисляют среди правил вывода, поскольку считают само собой разумеющимся. Или, как говорят программисты, оно подразумевается “по умолчанию”.
В примере про Шерлока Холмса был переход от формул F1, F2, F3 к формуле F4. Это переход запрещен, если хотя бы одна из формул F1, F2 или F3 еще не доказана. Если не доказаны две или все, то переход тоже запрещен. И только если все три формулы доказаны, переход разрешается. После перехода формула F4 тоже становится доказанной.
4. Метод должен перечислять аксиомы.
Аксиома – это формула, которая считается доказанной с самого начала.
В пункте 3 говорилось, что новые доказанные формулы можно получить только из других доказанных формул. Но надо же с чего-то начинать? Значит, чтобы двигаться вперед, нам понадобится некий первоначальный набор доказанных формул. Это и есть аксиомы.
Почему они считаются доказанными, откуда они взялись – это уже другой вопрос, который выходит за рамки метода. Может быть, они считаются доказанными потому, что их доказали раньше каким-то другим методом, или потому, что в них полагается верить как в религиозную догму, или потому, что математику захотелось посмотреть: а что будет, если допустить, что вот эта формула доказана. Вот например в нашем примере формулы F1, F2 и F3 можно считать аксиомами. Они были доказаны не дедуктивным методом, а как-то еще. Например, в результате допроса свидетелей, после изучения улик или на основе интуиции Холмса.
Математика не накладывает никаких ограничений на количество и выбор аксиом, кроме двух. Первое – каждая аксиома должна быть формулой этого дедуктивного метода. Второе – должно быть четко и строго определено, какая формула является аксиомой. Какая угодно формула может быть аксиомой, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот это – аксиома, а вот эта – нет.
Таким образом, дедукция – это метод рассуждений, который соблюдает пункты 1, 2, 3 и 4. Любой другой метод рассуждений – не дедукция.
Вы видели, что можно разными способами определять, что такое формула, по-разному выбирать правила вывода и аксиомы. Значит, можно составить бесчисленное количество разных дедуктивных методов. Да, это действительно так.
В следующих параграфах я продолжу рассмотрение дедукции.
Дедукцией иногда называют переход от общего к частному. Скажем, из того, что у всех людей есть голова, следует, что у Василия Пупкина тоже есть голова. Дедукции противопоставляется индукция – обобщение на основе частных случаев. Например, мы смотрим личные дела сотрудников предприятия и каждый раз обнаруживаем, что сотрудник – мужчина. Просмотрев все дела, на основании рассмотрения этих конкретных (частных) случаев мы приходим к общему выводу, что коллектив данного предприятия – чисто мужской.
Также слово “дедукция” у многих ассоциируется с Шерлоком Холмсом. В своих расследованиях он часто ссылается на “дедуктивный метод”. Описывает он его примерно так: если исключены все версии, кроме одной, то эта последняя версия и есть истина, какой бы странной она ни была.
В математике дедукция и дедуктивный метод – гораздо более широкое понятие. Оно включает в себя и метод Шерлока Холмса, и те дедукцию с индукцией, которые я упомянул в первом абзаце. В математике есть не только своя дедукция, но и своя индукция, тоже другая. Причем, математическая индукция вовсе не противопоставляется дедукции, а является одним из ее правил. Надеюсь, я вас достаточно запутал, теперь попробую распутать.
Забудем на минутку обо всех дедукциях, кроме математической. Есть несколько понятий: "дедукция", "дедуктивная система", "дедуктивный метод", "аксиоматическая система", "аксиоматический метод", "аксиоматика", "исчисление высказываний", "логическое исчисление", "пропозициональное исчисление".
Так вот, все перечисленное – это по большому счету одно и то же.
В чем же заключается дедукция? Это метод. Чтобы определить метод, я перечислю все требования, которые к нему предъявляются.
1. Метод работает с формулами.
Нет никаких ограничений на то, что считать формулой, кроме одного: метод сам должен четко и строго это определить. Например, формулами могут быть обычные математические формулы, какие-нибудь тексты, серии значков. Все что угодно, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот это – формула, а вот это – уже не формула.
2. Метод указывает правила вывода.
Правило вывода – это правило, по которому можно одну группу формул связать с другой группой формул. Пример одного правила вывода мы видели у Шерлока Холмса. В его случае формулы – это утверждения насчет версий. Пусть у него есть три версии: A, B, C. Например, A – убийство, B – самоубийство, C – несчастный случай. Пусть он исключил версии A и C. Тогда он имеет право перейти к версии B как единственно истинной. Правило вывода будет выглядеть примерно так:
Если известно, что
“возможны только три взаимоисключающие версии: A, B, C”
(в кавычках формула F1)
и
“версия A исключена”
(в кавычках формула F2)
и
“версия C исключена”
(в кавычках формула F3),
то
“версия B истинна”
(в кавычках формула F4).
При этом неважно, какие конкретные версии стоят на месте A, B и C. В любом случае, в любом деле, которое распутывает Холмс, правило вывода позволяет перейти от формул F1, F2, F3 к формуле F4. Заметим, что “формулы” в данном случае – это не абстрактные математические формулы, а обычные фразы, возможные в реальной жизни.
Переход от одной группы формул к другой группе формул (согласно какому-нибудь правилу вывода) называется “дедуктивным переходом”, “шагом дедукции”, “шагом вывода”.
Математика не накладывает каких-либо ограничений на правила вывода, кроме одного: метод должен четко и строго определять все эти правила. Какие угодно, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот здесь дедуктивный переход был сделан строго по правилу, а вот здесь правило было нарушено.
3. Метод допускает дедуктивные переходы только от доказанных формул. Новые формулы тоже становятся доказанными.
Это тоже своего рода правило вывода, но я его записал отдельно. Почему? Только потому, что оно – едино для всей математики. Другие правила вывода могут отвергаться или приниматься там или тут, но это – незыблемо. Его даже не перечисляют среди правил вывода, поскольку считают само собой разумеющимся. Или, как говорят программисты, оно подразумевается “по умолчанию”.
В примере про Шерлока Холмса был переход от формул F1, F2, F3 к формуле F4. Это переход запрещен, если хотя бы одна из формул F1, F2 или F3 еще не доказана. Если не доказаны две или все, то переход тоже запрещен. И только если все три формулы доказаны, переход разрешается. После перехода формула F4 тоже становится доказанной.
4. Метод должен перечислять аксиомы.
Аксиома – это формула, которая считается доказанной с самого начала.
В пункте 3 говорилось, что новые доказанные формулы можно получить только из других доказанных формул. Но надо же с чего-то начинать? Значит, чтобы двигаться вперед, нам понадобится некий первоначальный набор доказанных формул. Это и есть аксиомы.
Почему они считаются доказанными, откуда они взялись – это уже другой вопрос, который выходит за рамки метода. Может быть, они считаются доказанными потому, что их доказали раньше каким-то другим методом, или потому, что в них полагается верить как в религиозную догму, или потому, что математику захотелось посмотреть: а что будет, если допустить, что вот эта формула доказана. Вот например в нашем примере формулы F1, F2 и F3 можно считать аксиомами. Они были доказаны не дедуктивным методом, а как-то еще. Например, в результате допроса свидетелей, после изучения улик или на основе интуиции Холмса.
Математика не накладывает никаких ограничений на количество и выбор аксиом, кроме двух. Первое – каждая аксиома должна быть формулой этого дедуктивного метода. Второе – должно быть четко и строго определено, какая формула является аксиомой. Какая угодно формула может быть аксиомой, лишь бы мы могли всегда определенно сказать: вот это – аксиома, а вот эта – нет.
Таким образом, дедукция – это метод рассуждений, который соблюдает пункты 1, 2, 3 и 4. Любой другой метод рассуждений – не дедукция.
Вы видели, что можно разными способами определять, что такое формула, по-разному выбирать правила вывода и аксиомы. Значит, можно составить бесчисленное количество разных дедуктивных методов. Да, это действительно так.
В следующих параграфах я продолжу рассмотрение дедукции.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-06 08:59 pm (UTC)Не следует, например, если В.П. это марсианин. ;)
no subject
Date: 2007-01-06 09:22 pm (UTC)до темы "пресуппозиции" еще оченно далеко - не факт, что дотяну :)))
no subject
Date: 2007-01-07 10:09 am (UTC)Т.е. пока делали утверждение, Пупкин был вполне себе человек, а когда начали делать выводы, Пупкина перевели в другое состояние (распы(и)лили, например).
no subject
Date: 2007-01-07 01:34 pm (UTC)Дойдем и до этого я надеюсь :)
no subject
Date: 2007-01-07 12:31 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-07 01:33 pm (UTC)