Проект "логика для чайников". Параграф 18.
Jan. 9th, 2007 07:14 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicТеоремы, гипотезы, аксиомы, доказательства
Давайте рассмотрим пример дедуктивной системы. Возьму что-нибудь не слишком серьезное и не
слишком строгое (ведь это всего лишь пример).
Пусть эта дедуктивная система предназначена для классификации животных. Она должна ответить на вопрос: является ли некий зверь хищником? Применима она только для зверей, а птицы, рыбы и прочие в расчет не берутся. В дедуктивной системе будет две аксиомы:
Аксиома кошки: кошка – хищник.
Аксиома медведя: медведь – хищник.
Еще в этой дедуктивной системе будет два правила вывода:
Правило когтей: если у зверя когти размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.
Правило клыков: если у зверя клыки размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.
Тут надо уточнить, как мерить когти и клыки, ведь звери по величине разные бывают, и у больших зверей зубы и когти вообще больше. Пусть учитываются относительные размеры – то есть, длина когтя или клыка по сравнению с длиной тела (можно в процентах). А длина тела меряется по тушке: от носа до задницы (хвост не в счет).
У собаки когти примерно такие же, как у кошки. Значит, собака – тоже хищник по правилу когтей. Получилась новая доказанная формула, которой нет среди аксиом.
Формулы, которые удается доказать с помощью правил вывода, но которых нет среди аксиом, называются "теоремами".
Теорема собаки: собака – хищник.
А что насчет лисы? Я никогда не видел лисьих когтей, так что правило когтей мне не поможет. Зато я помню, какие у лисы клыки. Они примерно такие же, как у собаки. Но собака – хищник (это доказано только что). Значит, лисица – тоже хищник.
Теорема лисицы: лисица – хищник.
Доказательство новой теоремы заняло всего два шага:
1. Из аксиомы кошки получена теорема собаки по правилу когтей.
2. Из теоремы собаки получена теорема лисицы по правилу клыков.
Пункты 1 и 2 – это как раз те шаги, которые называют “дедуктивными переходами”, “шагами дедукции”, “шагами вывода”. Два шага в целом образуют "доказательство". Вообще "доказательство" в дедуктивном методе – это произвольный набор шагов дедукции. Обычно все эти шаги делаются ради самой последней формулы-теоремы. Тогда все доказательство называют доказательством этой теоремы. Вот те два шага – это доказательство теоремы лисицы.
Есть еще такое понятие как "вывод". Оно многозначное. С одной стороны, вывод – это доказательство. С другой стороны, вывод – это последняя доказанная теорема. С третьей стороны вывод – это сам процесс построения доказательства шаг за шагом.
У муравьеда когти больше, чем у волка. Тогда по правилу когтей получается, что муравьед – хищник. Но это неправда. У бегемота клыки больше, чем у льва. Тогда по правилу клыков получается, что бегемот – хищник. И это тоже неправда. Выходит, приведенная дедуктивная система не всегда дает верный результат. В ней правильные аксиомы, а вот правила вывода – подкачали. Значит, приведенная дедуктивная система требует улучшения. Можете попробовать это сделать в качестве упражнения.
Были рассмотрены примеры аксиом и теорем. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода. Есть еще один тип формул, занимающих промежуточное положение. Это – гипотезы.
Гипотеза – это формула, которая считается доказанной, но не с самого начала, а в течение какого-то времени. Фактически, гипотеза становится на какое-то время чем-то вроде дополнительной аксиомы.
Зачем это надо? Для самых разных целей. Например, хочется посмотреть, а что было бы, если бы вот эта формула считалась доказанной? Какие следствия из этого получатся? Иногда гипотеза может применяться для доказательства новой теоремы. Таков метод "от противного". Иногда – для того, чтобы получить "заготовку", кусочек для будущего доказательства.
Например, примем гипотезу, что корова – хищник. Но клыки у нее маленькие, тогда и коза окажется хищником. Что получается? Я не могу доказать, что корова – хищник. Но я могу сказать, что если бы мне удалось доказать, что корова – хищник, то мне удалось бы потом доказать и то, что коза – хищник. Такие "гипотетические" рассуждения в некоторых случаях оказываются полезными.
Подведу итог. В дедуктивных системах существуют четыре класса формул.
1. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала.
2. Гипотезы – это формулы, которые полагаются доказанными на какое-то время.
3. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода.
4. И прочие недоказанные формулы.
Давайте рассмотрим пример дедуктивной системы. Возьму что-нибудь не слишком серьезное и не
слишком строгое (ведь это всего лишь пример).
Пусть эта дедуктивная система предназначена для классификации животных. Она должна ответить на вопрос: является ли некий зверь хищником? Применима она только для зверей, а птицы, рыбы и прочие в расчет не берутся. В дедуктивной системе будет две аксиомы:
Аксиома кошки: кошка – хищник.
Аксиома медведя: медведь – хищник.
Еще в этой дедуктивной системе будет два правила вывода:
Правило когтей: если у зверя когти размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.
Правило клыков: если у зверя клыки размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.
Тут надо уточнить, как мерить когти и клыки, ведь звери по величине разные бывают, и у больших зверей зубы и когти вообще больше. Пусть учитываются относительные размеры – то есть, длина когтя или клыка по сравнению с длиной тела (можно в процентах). А длина тела меряется по тушке: от носа до задницы (хвост не в счет).
У собаки когти примерно такие же, как у кошки. Значит, собака – тоже хищник по правилу когтей. Получилась новая доказанная формула, которой нет среди аксиом.
Формулы, которые удается доказать с помощью правил вывода, но которых нет среди аксиом, называются "теоремами".
Теорема собаки: собака – хищник.
А что насчет лисы? Я никогда не видел лисьих когтей, так что правило когтей мне не поможет. Зато я помню, какие у лисы клыки. Они примерно такие же, как у собаки. Но собака – хищник (это доказано только что). Значит, лисица – тоже хищник.
Теорема лисицы: лисица – хищник.
Доказательство новой теоремы заняло всего два шага:
1. Из аксиомы кошки получена теорема собаки по правилу когтей.
2. Из теоремы собаки получена теорема лисицы по правилу клыков.
Пункты 1 и 2 – это как раз те шаги, которые называют “дедуктивными переходами”, “шагами дедукции”, “шагами вывода”. Два шага в целом образуют "доказательство". Вообще "доказательство" в дедуктивном методе – это произвольный набор шагов дедукции. Обычно все эти шаги делаются ради самой последней формулы-теоремы. Тогда все доказательство называют доказательством этой теоремы. Вот те два шага – это доказательство теоремы лисицы.
Есть еще такое понятие как "вывод". Оно многозначное. С одной стороны, вывод – это доказательство. С другой стороны, вывод – это последняя доказанная теорема. С третьей стороны вывод – это сам процесс построения доказательства шаг за шагом.
У муравьеда когти больше, чем у волка. Тогда по правилу когтей получается, что муравьед – хищник. Но это неправда. У бегемота клыки больше, чем у льва. Тогда по правилу клыков получается, что бегемот – хищник. И это тоже неправда. Выходит, приведенная дедуктивная система не всегда дает верный результат. В ней правильные аксиомы, а вот правила вывода – подкачали. Значит, приведенная дедуктивная система требует улучшения. Можете попробовать это сделать в качестве упражнения.
Были рассмотрены примеры аксиом и теорем. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода. Есть еще один тип формул, занимающих промежуточное положение. Это – гипотезы.
Гипотеза – это формула, которая считается доказанной, но не с самого начала, а в течение какого-то времени. Фактически, гипотеза становится на какое-то время чем-то вроде дополнительной аксиомы.
Зачем это надо? Для самых разных целей. Например, хочется посмотреть, а что было бы, если бы вот эта формула считалась доказанной? Какие следствия из этого получатся? Иногда гипотеза может применяться для доказательства новой теоремы. Таков метод "от противного". Иногда – для того, чтобы получить "заготовку", кусочек для будущего доказательства.
Например, примем гипотезу, что корова – хищник. Но клыки у нее маленькие, тогда и коза окажется хищником. Что получается? Я не могу доказать, что корова – хищник. Но я могу сказать, что если бы мне удалось доказать, что корова – хищник, то мне удалось бы потом доказать и то, что коза – хищник. Такие "гипотетические" рассуждения в некоторых случаях оказываются полезными.
Подведу итог. В дедуктивных системах существуют четыре класса формул.
1. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала.
2. Гипотезы – это формулы, которые полагаются доказанными на какое-то время.
3. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода.
4. И прочие недоказанные формулы.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-09 04:47 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-09 05:28 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-09 04:48 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-10 08:31 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-10 01:53 pm (UTC)