![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicДоказательство аксиом
Для того, чтобы строить какие-то доказательства, нужны аксиомы. Где их взять?
Договоренность
Напомню определение: “аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала”. Обратите внимание на слово “считаются”. Оно дает первый, наипростейший метод получения аксиом. Если два человека “считают”, что аксиома верна, то они могут строить на ее основе доказательства, которые будут убедительными для обоих. При этом совершенно неважно, почему эти два человека считают аксиому верной.
В реальной жизни это может выглядеть примерно так:
Жена: Ты согласен, что нам не хватает денег?
Муж: Да, согласен.
Жена: Тогда надо заработать больше.
Муж: Или сократить расходы.
Первой фразой жена предлагает мужу аксиому “нам не хватает денег”. Муж соглашается. Это утверждение оказывается принятым в качестве аксиомы обоими. Дальше они пытаются что-то доказать друг другу на основе этой аксиомы. Обратите внимание, что причины согласия при этом могут быть разными. Например, жене хочется новое платье, а муж – просто жадный.
Необязательно согласовывать аксиомы так явно. Один человек может просто догадаться, что другой человек тоже согласен с данным утверждением. Например, разговаривают два опытных садовода. Оба могут полагаться на то, что собеседник знает: без воды огурцы засохнут. Аксиому “без воды огурцы засохнут” им не нужно согласовывать между собой, ведь всякий опытный садовод такие вещи должен знать.
Необходимость доказательства аксиом
Что, если договориться не удается? В таком случае необходимо как-то доказать эту аксиому, иначе невозможно будет двигаться дальше. Но разве аксиомы доказываются? А куда денешься... Если договориться не удается, а эта аксиома необходима для построения доказательства, саму эту аксиому прежде придется доказать.
Еще раз напомню определение: “аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала”. Считаются доказанными когда? Ответ: когда ведется построение доказательства в данной дедуктивной системе. Но ведь никто не запрещает нам доказывать что-то и без применения этой дедуктивной системы. В том числе можно заранее доказать аксиомы.
Таким образом, мнение о том, что аксиомы не доказываются, нужно уточнить: они не доказываются в рамках той дедуктивной системы, в которой они считаются аксиомами. А вне ее рамок они могут и доказываться.
Привлечение другой аксиоматики
Пусть у нас есть дедуктивная система. Назовем ее системой 1. Требуется как-то доказать ее аксиомы.
Один из вариантов состоит в том, чтобы привлечь другую дедуктивную систему. Назовем ее системой 2. С помощью системы 2 можно доказать некоторое утверждение, а потом использовать это утверждение как аксиому в дедуктивной системе 1.
При этом в дедуктивной системе 2 в свою очередь тоже будут аксиомы. Тогда встанет вопрос: а как доказать их? Можно попытаться найти систему 3, потом систему 4, и так далее. В какой-то момент, возможно, удастся договориться. Вот жизненный пример.
Директор: Надо бы окна помыть.
Завхоз: Зачем? И так сойдет.
Директор: Министр приедет.
Завхоз: Ну и что... главное – банкет.
Директор: Ты забыл, что теперь наш министр – баба?
Завхоз: Ах да... надо помыть.
В этом диалоге использовалось по крайней мере две дедуктивные системы и три аксиомы. Причем, сами аксиомы собеседники вслух даже не высказывали, ограничиваясь намеками.
Две дедуктивные системы – это “методы задабривания начальства” и “методы ублажения женщин”.
Сначала директор пытался доказать важность мытья окон на основе аксиомы “министру нравятся чистые окна”. Завхоз эту аксиому не принял, имея в виду другую: “министру нравится банкет”. Завхоз опирался на свои старые, проверенные стереотипы.
Тогда начальник призвал на помощь другую дедуктивную систему. Он намекнул на аксиому “женщинам нравится чистота”. Эту аксиому завхоз уже вполне готов был принять. Быстренько рассудив мысленно, он понял, что из этого следует утверждение:
“министру нравятся чистые окна”.
Будет это утверждение аксиомой или теоремой? В дедуктивной системе “методы задабривания начальства” это теперь аксиома, которая используется вместо старой. В дедуктивной системе “методы ублажения женщин” это – теорема. Если объединить две системы в одну и рассмотреть такую большую систему, то утверждение станет промежуточной теоремой, из которой следует теорема “окна следует помыть”.
Вера
Еще один способ доказать аксиому – опереться на веру.
Вера может быть основана на простом человеческом доверии. С кем-то вы давно общаетесь, и ни разу не поймали его на лжи. Исходя из этого опыта, вы готовы принять аксиому, на которую ссылается этот человек, просто поверив ему на слово.
Вера может быть основана на инстинктах. Ребенок верит своим родителям без оглядки. Для доказательства аксиомы достаточно, чтобы ее подтвердила мать или отец.
Вера может быть основана на религии. Здесь доказательство аксиомы будет выглядеть как ссылка на какие-то священные книги, слова пророков, обряды, ритуалы и т.п.
Наконец, вера может быть основана на авторитете источника. Если он вам известен как отличный специалист в данной области, то вы можете принять предложенную им аксиому, надеясь на то, что он не сделает ошибки.
Эти четыре вида веры могут комбинироваться между собой.
Если какая-то религия представляет богов или служителей культа в виде отца или матери, то она случайно или намеренно эксплуатирует инстинкт доверия к родителям. Получается комбинация религиозной и инстинктивной веры.
Если какой-то специалист ни разу не был пойман на лжи, то тут объединяется вера, основанная и на его авторитете (как специалиста), так и на доверии к нему, как к правдивому человеку.
Личный опыт
Очень сильный метод доказательства аксиом – личный опыт.
Вспомним определение истины: “истина – это называние вещей своими именами”. Или, если более развернуто, истина – это называние предметов, процессов, ситуаций, явлений (и т.д.) только теми словами, фразами (и т.д.), которые предназначены именно для этого в данном языке.
Осталось лишь убедится, действительно ли “вещь” соответствует “имени”. Для этого надо проверить соответствие между первой и второй сигнальными системами.
Помните пример аксиомы “кошка – хищник”? Чтобы доказать эту аксиому на личном опыте, надо во-первых, вспомнить, какое животное называется кошкой, во-вторых, вспомнить признаки хищников, и, наконец, собственными глазами понаблюдать за кошками. Ваши глаза должны увидеть, что животные, называемые “кошками” действительно проявляют поведение, которое называют “хищным”.
Например, можно изо дня вдень ставить перед кошкой тарелки с травкой, яблоком, мясом, и т.д. и наблюдать, какую пищу она предпочитает. Нормальная кошка будет жрать мясо и иногда немного травы. Можно наблюдать за кошкой в природе и видеть, как она охотится на мышей. Можно поймать кошку, рассмотреть ее когти, и убедиться, что они неплохо приспособлены для такой охоты. А если посмотреть на зубы, то заметить, что они не годятся для пережевывания травы.
Все методы доказательства аксиом неидеальны. Привлечение другой аксиоматики может завести в глухие дебри. Вера может обернуться наивной доверчивостью. А личный опыт может дать сбой в результате галлюцинации или иллюзии. Руки из-за этого опускать не надо, лучше искать способы, как снизить риск ошибок.
Возможны и другие способы доказательства, но они имеют мало отношения к логике. Например, внушение, угроза, ссылки на интуицию, этические, эстетические соображения и т.п.
Для того, чтобы строить какие-то доказательства, нужны аксиомы. Где их взять?
Договоренность
Напомню определение: “аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала”. Обратите внимание на слово “считаются”. Оно дает первый, наипростейший метод получения аксиом. Если два человека “считают”, что аксиома верна, то они могут строить на ее основе доказательства, которые будут убедительными для обоих. При этом совершенно неважно, почему эти два человека считают аксиому верной.
В реальной жизни это может выглядеть примерно так:
Жена: Ты согласен, что нам не хватает денег?
Муж: Да, согласен.
Жена: Тогда надо заработать больше.
Муж: Или сократить расходы.
Первой фразой жена предлагает мужу аксиому “нам не хватает денег”. Муж соглашается. Это утверждение оказывается принятым в качестве аксиомы обоими. Дальше они пытаются что-то доказать друг другу на основе этой аксиомы. Обратите внимание, что причины согласия при этом могут быть разными. Например, жене хочется новое платье, а муж – просто жадный.
Необязательно согласовывать аксиомы так явно. Один человек может просто догадаться, что другой человек тоже согласен с данным утверждением. Например, разговаривают два опытных садовода. Оба могут полагаться на то, что собеседник знает: без воды огурцы засохнут. Аксиому “без воды огурцы засохнут” им не нужно согласовывать между собой, ведь всякий опытный садовод такие вещи должен знать.
Необходимость доказательства аксиом
Что, если договориться не удается? В таком случае необходимо как-то доказать эту аксиому, иначе невозможно будет двигаться дальше. Но разве аксиомы доказываются? А куда денешься... Если договориться не удается, а эта аксиома необходима для построения доказательства, саму эту аксиому прежде придется доказать.
Еще раз напомню определение: “аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала”. Считаются доказанными когда? Ответ: когда ведется построение доказательства в данной дедуктивной системе. Но ведь никто не запрещает нам доказывать что-то и без применения этой дедуктивной системы. В том числе можно заранее доказать аксиомы.
Таким образом, мнение о том, что аксиомы не доказываются, нужно уточнить: они не доказываются в рамках той дедуктивной системы, в которой они считаются аксиомами. А вне ее рамок они могут и доказываться.
Привлечение другой аксиоматики
Пусть у нас есть дедуктивная система. Назовем ее системой 1. Требуется как-то доказать ее аксиомы.
Один из вариантов состоит в том, чтобы привлечь другую дедуктивную систему. Назовем ее системой 2. С помощью системы 2 можно доказать некоторое утверждение, а потом использовать это утверждение как аксиому в дедуктивной системе 1.
При этом в дедуктивной системе 2 в свою очередь тоже будут аксиомы. Тогда встанет вопрос: а как доказать их? Можно попытаться найти систему 3, потом систему 4, и так далее. В какой-то момент, возможно, удастся договориться. Вот жизненный пример.
Директор: Надо бы окна помыть.
Завхоз: Зачем? И так сойдет.
Директор: Министр приедет.
Завхоз: Ну и что... главное – банкет.
Директор: Ты забыл, что теперь наш министр – баба?
Завхоз: Ах да... надо помыть.
В этом диалоге использовалось по крайней мере две дедуктивные системы и три аксиомы. Причем, сами аксиомы собеседники вслух даже не высказывали, ограничиваясь намеками.
Две дедуктивные системы – это “методы задабривания начальства” и “методы ублажения женщин”.
Сначала директор пытался доказать важность мытья окон на основе аксиомы “министру нравятся чистые окна”. Завхоз эту аксиому не принял, имея в виду другую: “министру нравится банкет”. Завхоз опирался на свои старые, проверенные стереотипы.
Тогда начальник призвал на помощь другую дедуктивную систему. Он намекнул на аксиому “женщинам нравится чистота”. Эту аксиому завхоз уже вполне готов был принять. Быстренько рассудив мысленно, он понял, что из этого следует утверждение:
“министру нравятся чистые окна”.
Будет это утверждение аксиомой или теоремой? В дедуктивной системе “методы задабривания начальства” это теперь аксиома, которая используется вместо старой. В дедуктивной системе “методы ублажения женщин” это – теорема. Если объединить две системы в одну и рассмотреть такую большую систему, то утверждение станет промежуточной теоремой, из которой следует теорема “окна следует помыть”.
Вера
Еще один способ доказать аксиому – опереться на веру.
Вера может быть основана на простом человеческом доверии. С кем-то вы давно общаетесь, и ни разу не поймали его на лжи. Исходя из этого опыта, вы готовы принять аксиому, на которую ссылается этот человек, просто поверив ему на слово.
Вера может быть основана на инстинктах. Ребенок верит своим родителям без оглядки. Для доказательства аксиомы достаточно, чтобы ее подтвердила мать или отец.
Вера может быть основана на религии. Здесь доказательство аксиомы будет выглядеть как ссылка на какие-то священные книги, слова пророков, обряды, ритуалы и т.п.
Наконец, вера может быть основана на авторитете источника. Если он вам известен как отличный специалист в данной области, то вы можете принять предложенную им аксиому, надеясь на то, что он не сделает ошибки.
Эти четыре вида веры могут комбинироваться между собой.
Если какая-то религия представляет богов или служителей культа в виде отца или матери, то она случайно или намеренно эксплуатирует инстинкт доверия к родителям. Получается комбинация религиозной и инстинктивной веры.
Если какой-то специалист ни разу не был пойман на лжи, то тут объединяется вера, основанная и на его авторитете (как специалиста), так и на доверии к нему, как к правдивому человеку.
Личный опыт
Очень сильный метод доказательства аксиом – личный опыт.
Вспомним определение истины: “истина – это называние вещей своими именами”. Или, если более развернуто, истина – это называние предметов, процессов, ситуаций, явлений (и т.д.) только теми словами, фразами (и т.д.), которые предназначены именно для этого в данном языке.
Осталось лишь убедится, действительно ли “вещь” соответствует “имени”. Для этого надо проверить соответствие между первой и второй сигнальными системами.
Помните пример аксиомы “кошка – хищник”? Чтобы доказать эту аксиому на личном опыте, надо во-первых, вспомнить, какое животное называется кошкой, во-вторых, вспомнить признаки хищников, и, наконец, собственными глазами понаблюдать за кошками. Ваши глаза должны увидеть, что животные, называемые “кошками” действительно проявляют поведение, которое называют “хищным”.
Например, можно изо дня вдень ставить перед кошкой тарелки с травкой, яблоком, мясом, и т.д. и наблюдать, какую пищу она предпочитает. Нормальная кошка будет жрать мясо и иногда немного травы. Можно наблюдать за кошкой в природе и видеть, как она охотится на мышей. Можно поймать кошку, рассмотреть ее когти, и убедиться, что они неплохо приспособлены для такой охоты. А если посмотреть на зубы, то заметить, что они не годятся для пережевывания травы.
Все методы доказательства аксиом неидеальны. Привлечение другой аксиоматики может завести в глухие дебри. Вера может обернуться наивной доверчивостью. А личный опыт может дать сбой в результате галлюцинации или иллюзии. Руки из-за этого опускать не надо, лучше искать способы, как снизить риск ошибок.
Возможны и другие способы доказательства, но они имеют мало отношения к логике. Например, внушение, угроза, ссылки на интуицию, этические, эстетические соображения и т.п.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-11 02:06 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-11 04:26 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-11 05:08 pm (UTC)Насчет "прямая линия короче всякой другой, соединяющей ее концы".
Аналогично. Никто не определил, что такое конец прямой. С таким же успехом можно было написать "прямая линия короче всякой другой, соединяющей ее уши".
no subject
Date: 2007-01-11 11:34 pm (UTC)"Выражение "площадь точки" - бессмыслица, просто потому, что смысл его никто не определил" - но многое в нашей жизни не определено. И как-то мы с этим живем.
no subject
Date: 2007-01-11 11:56 pm (UTC)Конечно! Из разряда доказательства личным опытом. Есть сомнения, что не определил? Читаем книгу собственными глазами и убеждаемся, что нигде определения нет.
[ многое в нашей жизни не определено ]
Ну и что?
no subject
Date: 2007-01-12 12:52 am (UTC)Опять же, "женская логика", по-видимому, доминирует ;)
хе - хе
Date: 2007-01-14 11:59 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 01:18 am (UTC)был у меня такой многолетний задвиг. сразу скажу, что от математики вообще и от логики любой в частности (ахуле, женщина!) я далека неимоверно. но вот, был задвиг, где-то основанный на школьном представлении о ряде натуральных чисел (?), представленных в виде прямой (?). короче, суть сводилась к тому, что ряд этих чисел непрерывен и этой самой прямой графически может быть представлен. и вот тут меня переклинило. я попыталась себе представить, как выглядит прямая, из которой вычли, допустим, 3. по всему выходило, что это уже будет не непрерывность и бесконечность, так ее, а в лучшем случае два луча. я девочка талантливая, мне никто не смог аргументированно возразить. ну, они в лучшем случае математики, с таким примером, скажем так, логики, дела им иметь не приходилось.
и терроризировала я так безнаказанно окружающих года три. с наглым требованием объяснить мне, как в такой ситуации бесконечность может остаться самой собой, т.е. бесконечностью. беспомощное выражение их лиц только добавляло уверенности. а потом я напоролась на женщину.
женщина сказала: ну, пойдем, я докажу тебе, что бесконечность остается бесконечностью. я, заинтригованная, пошла.
женщина взяла клок бумаги, ручку, и нарисовала примерно следующее - 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
после этого спросила меня - это сколько? я, не особо задумываясь, ответила - ну, дохуя. она спрашивает: а если вычесть три, сколько останется?
а вы говорите - логика. ответ "дохуя минус три" выглядел еще абсурднее, чем изначальный вопрос ) так что я честно сказала - все равно дохуя.
no subject
Date: 2007-01-12 09:19 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 05:27 pm (UTC)Последовательность простых чисел тоже бесконечна.
no subject
Date: 2007-01-12 06:10 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 06:16 pm (UTC)ну ты же не блондинка, так что интересно, что переборет: ум или упрямство :))))
no subject
Date: 2007-01-12 06:20 pm (UTC)а вообще, сферы сии столь далеки от моего восприятия, что готова поверить на слово. раз мужчина говорит - так надо, значит, так надо ;)
no subject
Date: 2007-01-17 10:53 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-17 11:00 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-18 12:36 am (UTC)no subject
Date: 2007-01-18 12:45 am (UTC)мда.
блондинок недооценивают )
no subject
Date: 2007-10-19 09:50 pm (UTC)особенно когда факт изначально заведомо доказан мужчинами : )))))
no subject
Date: 2007-10-19 09:52 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-19 10:07 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-19 10:12 pm (UTC)во-первых, не поняла - "не не годится" - это да или нет?
во-вторых, какое объяснение что куда не должно вводить?
в-третьих, какая доказанность? кто-то что-то мацал руками и притащил на всеобщее обозрение?
в-четвертых, почему мужские методы канают, а женские - якобы нет?
в-пятых - кто кому в чем поверил?
да, буду занудой, в-шестых - кто что понять не смог?
до кучи в-седьмых - кто какую аналогию придумал?
короче, выражайтесь яснее ;)
no subject
Date: 2007-10-20 09:26 am (UTC)по поводу аналогий сошлюсь пожалуй на автора журнала, он понятнее написал вот http://psi-logic.shadanakar.org/psi/mini7.htm
мужские/женские методы это юмор такой... просто аналогии ничего не доказывают , вот и всё ;)
ну Вы лично на слово верили наверное изначально в непонимаемый факт (по крайней мере в глубине души понимали что вряд-ли все эти умные дяденьки/тетеньки нагло врут), а понять не могли. а женщина из истории придумала аналогию для понимания. Т.е. понимание не очень зависело от доказательства да и вообще истинности в каком-либо виде, ага?
no subject
Date: 2007-10-20 11:12 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-20 11:18 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-20 11:22 am (UTC)