![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicДоказанность и истинность
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
