![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicКак ни старался, этот параграф получился трудноват для понимания :(
Применение аксиом
Я писал о том, что аксиомы Гильберта (в отличие от аксиом Евклида) не опираются на воображение, связанное с восприятием окружающих предметов в пространстве.
Я здесь не буду приводить все 20 аксиом. Приведу только три, которые упоминаются в примерах. Заодно, как говорится, “почувствуете разницу”.
I.2: Дано две точки. Существует не более одной прямой, содержащей обе точки.
Сравните:
“Через две разные точки можно провести только одну прямую”.
Во втором варианте немножко примешано пространственное воображение: говорится о том, чтобы “провести” прямую – сразу представляется проведение по линейке или что-то в этом роде.
II.2: Даны две точки A и C. Существует точка B, на прямой AC такая, что C лежит между A и B.
Это самое “междулежание” тоже можно представлять себе мысленно в виде зрительного образа. Но у Гильберта “междулежание” – всего лишь абстрактное отношение между тремя точками. Т.е. можно было бы заменить слова “лежит между” на “хрюкает про” или выдумать какой-нибудь новый термин вроде “оффицирует”.
IV.1: Дана прямая m, точка A и плоскость. Плоскость содержит прямую m и точку A. Прямая m не содержит точку A. В данной плоскости есть не более одной прямой, которая содержит точку A, но не содержит ни одной точки прямой m.
Сравните:
“Через точку, не лежащую на первой прямой можно провести не более одной прямой, параллельной первой, и лежащей в той же плоскости”.
Формулировка Гильберта более сухая, длинная, менее наглядная, не задействует воображение. Хотя, в принципе, в обоих вариантах говорится об одном и том же.
Дальше я буду ссылаться на три приведенные аксиомы по номерам: I.2, II.2, IV.1.
Раз уж удалось отделить систему аксиом от формы предметов в пространстве, то нельзя ли в таком случае применить эти аксиомы не к пространству, а к чему-нибудь другому?
Да, можно. Вот пример из школьной программы. Когда в курсе физики проходят колебания, то рисуют синусоиды и прочие кривые, иллюстрирующие колебательный процесс. При этом по горизонтали откладывают время, а по вертикали – отклонение маятника или другого колеблющегося тела.
Казалось бы – обычная декартова система координат, которую проходят как раз в курсе геометрии. Но обратите внимание, что на этих графиках откладывается время. Ось времени на бумаге лежит в пространстве, но настоящее время ведь не лежит в пространстве. То есть, картинка вообще-то не соответствует окружающему миру.
При рисовании вместо времени применяется одно из пространственных измерений. Помните прикол насчет стула, стола и пивной кружки? Здесь время – своего рода пивная кружка. Поскольку пространство-время подчиняется тем же самым аксиомам геометрии, что и линии на бумаге, то колебание можно нарисовать линиями.
Вместо отклонения маятника можно взять, скажем, температуру какого-то агрегата. Получится уже не пространство-время, а температуро-время.
Вывод: иногда аксиоматика может использоваться не только для той цели, для которой первоначально создавалась.
Другой вопрос: если аксиомы геометрии в современной математике так тщательно отделены от форм предметов, то нельзя ли заменить какие-то аксиомы? Как следует называть измененную аксиоматику? “Правильной?” “Истинной?”
Заменить можно. При этом получится другая аксиоматика. В ней тоже может быть “все хорошо” – в том смысле, что никаких противоречий не найдется.
Самый известный пример – геометрия Лобачевского. Там заменили одну аксиому IV.1 (см.) на противоположную. Конкретнее, заменили слова “не более одной прямой ” на “более одной прямой”.
Геометрия Лобачевского не будет соответствовать нашим понятиям о прямых предметах в окружающем пространстве. По крайней мере, с аксиомой IV.1 возникнут трудности.
Однако, если подходить чисто абстрактно (как "стул, стол, пивная кружка"), то в геометрии Лобачевского никто не смог найти противоречий.
Геометрия Лобачевского находит свое применение, но не для описания форм предметов, а в хитрых теориях, до которых простому смертному мало дела. Я приведу пример попроще для иллюстрации.
В аксиомах Гильберта ничего не сказано о том, что прямые надо рисовать по линейке на плоском листе бумаги. Тогда я волен поступать по-своему, и считать прямыми нечто иное. Ну например можно рисовать все не на листе бумаги, который лежит на столе, а на глобусе; и прямыми считать любые линии, проведенные на нем по линейке. Тут понадобится тонкая гибкая линейка – пластиковая или стальная, чтобы хорошо гнулась в одну сторону. Обернув линейку вокруг глобуса, можно провести, например, экватор.
В результате у нас получится “странная” геометрия, в которой “прямой” называется то, что в обычной геометрии называется “окружностью”. В этой геометрии не выполняется, например, аксиома I.2 (см.). Ставим точки на южном и северном полюсе. В результате мы сможем провести через две точки две “прямые” – вдоль разных меридианов.
Эта геометрия, хотя и “странная”, но тоже может быть описана каким-нибудь набором аксиом. Это будет неевклидова геометрия потому, что по крайней мере одна из аксиом Евклида (I.2) в ней не выполняется. В математике есть геометрия Римана, которая немного похожа на эту.
Если бы мы попытались применить “странную” геометрию для описания нормальных прямых на плоскости, у нас были бы проблемы. Если бы мы попытались применить евклидову геометрию для описания “прямых” на глобусе, у нас тоже были бы проблемы. Обратите внимание: нельзя сказать, что евклидова геометрия вообще неправильная или правильная, что ее аксиомы ложны или истинны “вообще”. Все зависит от способа ее применения.
Вывод: перед применением аксиоматики в новой области надо убедиться, что она там будет работать.
Для того, чтобы убедиться в этом, надо проверить аксиомы и правила вывода. Как это делается, я уже говорил в параграфе “доказательство аксиом”. В предыдушем параграфе, когда отрезок делился на все более мелкие части, демонстрировалась проверка аксиомы II.2.
При проверке аксиом обычно выясняется, что они действительно подтверждаются, но только до определенного предела или с какой-то погрешностью.
В примере с проверкой аксиомы II.2 до определенного предела все подтверждалось, а потом возникли проблемы, так как карандаш был недостаточно острым. Применяя аксиомы в реальной жизни, приходится постоянно “оглядываться” на подобные пределы, погрешности и прочие ограничения.
Применение аксиом
Я писал о том, что аксиомы Гильберта (в отличие от аксиом Евклида) не опираются на воображение, связанное с восприятием окружающих предметов в пространстве.
Я здесь не буду приводить все 20 аксиом. Приведу только три, которые упоминаются в примерах. Заодно, как говорится, “почувствуете разницу”.
I.2: Дано две точки. Существует не более одной прямой, содержащей обе точки.
Сравните:
“Через две разные точки можно провести только одну прямую”.
Во втором варианте немножко примешано пространственное воображение: говорится о том, чтобы “провести” прямую – сразу представляется проведение по линейке или что-то в этом роде.
II.2: Даны две точки A и C. Существует точка B, на прямой AC такая, что C лежит между A и B.
Это самое “междулежание” тоже можно представлять себе мысленно в виде зрительного образа. Но у Гильберта “междулежание” – всего лишь абстрактное отношение между тремя точками. Т.е. можно было бы заменить слова “лежит между” на “хрюкает про” или выдумать какой-нибудь новый термин вроде “оффицирует”.
IV.1: Дана прямая m, точка A и плоскость. Плоскость содержит прямую m и точку A. Прямая m не содержит точку A. В данной плоскости есть не более одной прямой, которая содержит точку A, но не содержит ни одной точки прямой m.
Сравните:
“Через точку, не лежащую на первой прямой можно провести не более одной прямой, параллельной первой, и лежащей в той же плоскости”.
Формулировка Гильберта более сухая, длинная, менее наглядная, не задействует воображение. Хотя, в принципе, в обоих вариантах говорится об одном и том же.
Дальше я буду ссылаться на три приведенные аксиомы по номерам: I.2, II.2, IV.1.
Раз уж удалось отделить систему аксиом от формы предметов в пространстве, то нельзя ли в таком случае применить эти аксиомы не к пространству, а к чему-нибудь другому?
Да, можно. Вот пример из школьной программы. Когда в курсе физики проходят колебания, то рисуют синусоиды и прочие кривые, иллюстрирующие колебательный процесс. При этом по горизонтали откладывают время, а по вертикали – отклонение маятника или другого колеблющегося тела.
Казалось бы – обычная декартова система координат, которую проходят как раз в курсе геометрии. Но обратите внимание, что на этих графиках откладывается время. Ось времени на бумаге лежит в пространстве, но настоящее время ведь не лежит в пространстве. То есть, картинка вообще-то не соответствует окружающему миру.
При рисовании вместо времени применяется одно из пространственных измерений. Помните прикол насчет стула, стола и пивной кружки? Здесь время – своего рода пивная кружка. Поскольку пространство-время подчиняется тем же самым аксиомам геометрии, что и линии на бумаге, то колебание можно нарисовать линиями.
Вместо отклонения маятника можно взять, скажем, температуру какого-то агрегата. Получится уже не пространство-время, а температуро-время.
Вывод: иногда аксиоматика может использоваться не только для той цели, для которой первоначально создавалась.
Другой вопрос: если аксиомы геометрии в современной математике так тщательно отделены от форм предметов, то нельзя ли заменить какие-то аксиомы? Как следует называть измененную аксиоматику? “Правильной?” “Истинной?”
Заменить можно. При этом получится другая аксиоматика. В ней тоже может быть “все хорошо” – в том смысле, что никаких противоречий не найдется.
Самый известный пример – геометрия Лобачевского. Там заменили одну аксиому IV.1 (см.) на противоположную. Конкретнее, заменили слова “не более одной прямой ” на “более одной прямой”.
Геометрия Лобачевского не будет соответствовать нашим понятиям о прямых предметах в окружающем пространстве. По крайней мере, с аксиомой IV.1 возникнут трудности.
Однако, если подходить чисто абстрактно (как "стул, стол, пивная кружка"), то в геометрии Лобачевского никто не смог найти противоречий.
Геометрия Лобачевского находит свое применение, но не для описания форм предметов, а в хитрых теориях, до которых простому смертному мало дела. Я приведу пример попроще для иллюстрации.
В аксиомах Гильберта ничего не сказано о том, что прямые надо рисовать по линейке на плоском листе бумаги. Тогда я волен поступать по-своему, и считать прямыми нечто иное. Ну например можно рисовать все не на листе бумаги, который лежит на столе, а на глобусе; и прямыми считать любые линии, проведенные на нем по линейке. Тут понадобится тонкая гибкая линейка – пластиковая или стальная, чтобы хорошо гнулась в одну сторону. Обернув линейку вокруг глобуса, можно провести, например, экватор.
В результате у нас получится “странная” геометрия, в которой “прямой” называется то, что в обычной геометрии называется “окружностью”. В этой геометрии не выполняется, например, аксиома I.2 (см.). Ставим точки на южном и северном полюсе. В результате мы сможем провести через две точки две “прямые” – вдоль разных меридианов.
Эта геометрия, хотя и “странная”, но тоже может быть описана каким-нибудь набором аксиом. Это будет неевклидова геометрия потому, что по крайней мере одна из аксиом Евклида (I.2) в ней не выполняется. В математике есть геометрия Римана, которая немного похожа на эту.
Если бы мы попытались применить “странную” геометрию для описания нормальных прямых на плоскости, у нас были бы проблемы. Если бы мы попытались применить евклидову геометрию для описания “прямых” на глобусе, у нас тоже были бы проблемы. Обратите внимание: нельзя сказать, что евклидова геометрия вообще неправильная или правильная, что ее аксиомы ложны или истинны “вообще”. Все зависит от способа ее применения.
Вывод: перед применением аксиоматики в новой области надо убедиться, что она там будет работать.
Для того, чтобы убедиться в этом, надо проверить аксиомы и правила вывода. Как это делается, я уже говорил в параграфе “доказательство аксиом”. В предыдушем параграфе, когда отрезок делился на все более мелкие части, демонстрировалась проверка аксиомы II.2.
При проверке аксиом обычно выясняется, что они действительно подтверждаются, но только до определенного предела или с какой-то погрешностью.
В примере с проверкой аксиомы II.2 до определенного предела все подтверждалось, а потом возникли проблемы, так как карандаш был недостаточно острым. Применяя аксиомы в реальной жизни, приходится постоянно “оглядываться” на подобные пределы, погрешности и прочие ограничения.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-16 02:06 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-16 02:07 pm (UTC)"Применяя аксиомы в реальной жизни, приходится постоянно “оглядываться” на подобные пределы, погрешности и прочие ограничения."
напоминает размышления про соответствие модели и оригинала. в том смысле, что модель идеальная будет точной копией )
вообще, очень часто сталкиваюсь с тем, что при более-менее важном обсуждении чего-либо с новым собеседником (из другой среды, из другой сферы интересов, просто малознакомый) сначала имеет смысл договориться о терминах. или регулярно уточнять их в процессе. своего рода конструирование общей системы координат и общей модели мира.
тут, кстати, еще т.н. "моральные ценности" очень красиво ложатся. иногда в силу культурных особенностей воображаемые модели мира в головах у людей настолько далеки друг от друга, что проще пристрелить, чем договориться )
no subject
Date: 2007-01-16 02:35 pm (UTC)точно. эта песня из той же оперетты :)
[ сначала имеет смысл договориться о терминах ]
ага, иначе потом можно долго спорить и в конце-концов окажется, что дело было в различном понимании слов
no subject
Date: 2007-04-13 02:50 pm (UTC)Ой, правда?
По-моему, изумительно будет соответствовать.
Мы НИКОГДА не имеем дела с бесконечными прямыми. А на ограниченном (хотя и очень большом) участке плоскости, с которыми мы только и имеем дело, через точку вне прямой проходит куда больше одной прямой, не пересекающей данную.
Однако, если подходить чисто абстрактно (как "стул, стол, пивная кружка"), то в геометрии Лобачевского никто не смог найти противоречий.
Сделано гораздо больше. Из объектов евклидовой геометрии построена модель геометрии Лобаческого - то есть показано, что некоторые объекты в Евклидовой геометрии удовлетворяют всем аксиомам Лобачевского.
Иными словами, все теоремы Лобачевского можно переформулировать в терминах Евклида. И если у Лобачевского противоречие есть - у Евклида оно тоже есть.
То есть геометрия Лобачевского не более противоречива, чем геометрия Евклида.
Очень красива, кстати, ошибка в попытке доказать аксиому параллельности. За определение параллельной прямой была взята линия, расстояние от любой точки которой до данной прямой постоянно.
При этом как-то забыли доказать, что полученное геометрическое место точек образует именно прямую. Сочли очевидным. А такое предположение равносильно исходной аксиоме.
Вот с вашей позиции - такое определение параллельной прямой является истинным или нет? :)
no subject
Date: 2007-04-13 02:58 pm (UTC)На ограниченном это будут не прямые, а отрезки. Увеличивая размеры плоскости вам будет все труднее провести две прямые, а в пределе это станет невозможно.
[ Сделано гораздо больше. ]
Ну и хорошо. Я в курсе. :)
[ Вот с вашей позиции - такое определение параллельной прямой является истинным или нет? :) ]
Там понятие расстояния между прямыми вылезает... оно неэлементарное.
no subject
Date: 2007-04-15 12:47 pm (UTC)На ограниченном это будут не прямые, а отрезки. Увеличивая размеры плоскости вам будет все труднее провести две прямые, а в пределе это станет невозможно.
Во-первых, совершенно не обязательно отрезки. Отрезок, знаете ли, ещё и замкнут - а из ограниченности замкнутость не следует.
Во-вторых. "Увеличивая размеры плоскости вам будет все труднее провести две прямые" - это не так. С чего бы труднее-то? Метод один и тот же для любого конечного участка плоскости.
Сказать Вы хотели на самом деле совсем-совсем другое. "Часть прямых, которые не пересекали данную прямую в пределах первого участка, пересекут её при рассмотрении большего участка".
В-третьих. "а в пределе это станет невозможно".
а. Обоснуйте возможность предельного перехода - то есть возможность неограниченного продолжения прямой. Вы где-то в опыте встречали бесконечные прямые? Вы с ними постоянно работаете? Они для Вас привычны и соответствуют представлениям о "прямых предметах в окружающем пространстве"?
б. Обоснуйте ваше утверждение о том, что будет в пределе. На любом конечном участке плоскости у нас существует континуум (несчётное бесконечное множество!!!) прямых, проходящих через данную точку, но не пересекающих данную прямую. Почему, собственно, в пределе от "пучка" останется только одна прямая? Вы явно представляете, как угол меняется. Отлично, почему в пределе будет именно 0?
Там понятие расстояния между прямыми вылезает... оно неэлементарное.
А Вы, батенька, не юлите. И что с того, что это имя не элементарное?
Есть вещь - параллельная прямая. Есть имя - геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой. Это имя является для этой вещи своим или нет? :)
no subject
Date: 2007-04-15 04:26 pm (UTC)иди на хуй, сыночек
[ И что с того, что это имя не элементарное? ]
то, что его надо сначала определить. что есть расстояние между прямыми? расстояние - это имя, а вещь где?
no subject
Date: 2007-04-16 11:40 am (UTC)Расстояние от точки до прямой - это школьный материал. Гораздо более школьный, чем неевклидова геометрия и системы аксиом. Определяется оно так: проводим через точку перпендикуляр к прямой, получаем отрезок. Длина этого отрезка и есть расстояние между этой точкой и этой прямой.
И кстати - это расстояние всегда определяется именно так. У Лобачевского тоже.
Вот я Вас и спрашиваю. Определение "параллельная прямая есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой" - истинно или нет?
И не надо делать вид, что здесь есть что-то сложное. "Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки" - это определение, уверен, Вы бы проглотили и не поморщились, легко признав верным.
no subject
Date: 2007-04-16 11:54 am (UTC)И я вам, сударь, тоже. :)
[ Определяется оно так: проводим через точку перпендикуляр к прямой, получаем отрезок. Длина этого отрезка и есть расстояние между этой точкой и этой прямой. ]
Ну видите: тут есть понятие "расстояние". Оно связано с измерением. Дальше надо смотреть, что это за измерение такое. Если оно неявно ссылается на физические свойства геометрии листа бумаги, то это одно. А если это какое-то чисто абстрактное измерение, тогда нужны аксиомы измерений.
Школьное определение окружности - оно не такое строгое, как у Гильберта, и опирается на воображение. То определение, которое вы привели, скорее всего, тоже опирается на воображение.