psilogic | Проект "логика для чайников". Параграф 36

Modus tollens

Следующее свойство называется по латыни modus tollens (иногда modus tollendi tollens).

Рассмотренный ранее modus ponens позволяет перейти от истинного X к истинному Y, если истинно условное высказывание ЕСЛИ X, ТО Y. Но обратный переход недопустим. Если известно, что Y истинно, то нельзя сказать, что истинно X (пример см. в предыдущей главе).

Я обозначаю условное высказывание, используя значок с хитрой стрелкой: X =>> Y. Имея истинное высказывание X, можно сделать шаг вдоль стрелки и считать истинным Y. Но наоборот нельзя: имея истинное Y, нельзя сдвинуться против стрелки и сказать, что истинно X. В этом случае X может быть истинным, но совсем необязательно.

Движение против стрелки возможно, но при другом условии. Y должно быть ложно. Если Y ложно, тогда можно сделать шаг против стрелки и сказать, что X тоже ложно. Это и есть правило modus tollens.

Теперь рассмотрим его формализацию. Требуется как-то записать, что Y ложно. Я буду использовать для этого отрицание НЕ Y. Так же и для X. Получится:

ЕСЛИ ( НЕ Y И ( ЕСЛИ X ТО Y ) ) ТО НЕ X

или значками:

( ~Y & (X =>> Y) ) =>> ~X

Итак, правило modus tollens позволяет двигаться “против стрелки”. Сейчас я дам одну художественно-слащавую формулировочку :) С точки зрения строгой логики это полный бред, но его легко запомнить: “стрелка показывает путь истины”. С истиной на руках можно двигаться вдоль стрелки, а с ложью можно двигаться против “пути истины”.

Пример. Пусть для сравнения дано то же самое условное высказывание:

“ЕСЛИ у вас есть пропуск, ТО вас пропустят в здание”.

“у вас есть пропуск” =>> “вас пропустят в здание”.

Пусть человека не пропустили. Тогда по modus tollens можно заключить, что пропуска у него не было. Если бы у него был пропуск, его бы пропустили. А если пропускают также и по паспорту? Все равно получается, что у него (нее) пропуска не было. Сам факт, что не пропустили, говорит о том, что у него (нее) не было ничего – ни пропуска, ни паспорта, ни больших си... э... других обоснований для прохода.

Я говорил о том, что modus ponens можно записать одной фразой, используя такие союзы как “поэтому”. С modus tollens то же самое. Его можно записать одной фразой, используя частицу “бы”, которая придает оттенок сомнения, ложности.

“Если бы у вас был пропуск, вас бы пропустили в здание”.

Второе “бы” подчеркивает ложность заключения. Мол, вас в здание не пропустили. По modus tollens получается, что и посылка тоже ложная, и первое “бы” как раз подчеркивает ложность посылки.

В общем, когда вы встречаете в речи конструкцию “если бы”, то вы, скорее всего, имеете дело с каким-нибудь вариантом modus tollens.

Кстати, о вариантах. Возьмем формулу modus tollens:

( ~Y & (X =>> Y) ) =>> ~X

На месте X и Y могут быть любые логические формулы. Пусть конкретно такие: X = ~A, Y = ~B. Подставим:

( ~(~B) & (~A =>> ~B) ) =>> ~(~A)

Теперь уберем двойные отрицания, получим:

(B & (~A =>> ~B) ) =>> A

Теперь подставьте X = A, Y = ~B. Получите еще один вариант:

(B & (A =>> ~B) ) =>> ~A

А теперь подставьте X = ~A, Y = B. Получите четвертый вариант:

(~B & (~A =>> B) ) =>> A

Во всех вариантах есть общий принцип: каждая переменная должна встретиться в формуле один раз со значком отрицания и один раз – без него.

Кстати, modus tollens часто называют “доказательством от противного”. На всякий случай замечу, что “доказательством от противного” или “сведением к абсурду” называют и другие логические приемы, но все они очень похожи на modus tollens.

Почему “от противного”? А посмотрите, что происходит. Я хочу доказать, что A истинно. Тогда я допускаю “противное истине”, то есть ~A. Говорю: хорошо, допустим, что НЕ A. Потом я доказываю как-нибудь условное высказывание ~A =>> B, то есть, что из “противного” получается некое B. Потом я говорю, посмотрите: а ведь B ложно, абсурдно. Отсюда, кстати, еще одно название для приема “сведение к абсурду”. То есть, обращаю внимание на то, что на самом то деле B ложно, а ~B истинно. И, наконец, делаю заключение: A.

Это я рассматривал последний вариант. С другими все очень похоже. Сначала допускается “противное” тому, что требуется доказать. Если требуется доказать, что истинно A, то допускают НЕ A. Если требуется доказать что истинно НЕ A (то есть, A ложно), то допускают A. Потом из этого что-то выводят, скажем B или НЕ B. Потом обращают внимание на абсурдность заключения. Если было выведено B, то доказывают, что на самом деле НЕ B, то есть, B абсурдно, ложно, а НЕ B истинно. Если было выведено НЕ B, то доказывают, что на самом деле истинно B, то есть, НЕ B абсурдно, ложно.

Пример. Человек хочет доказать, что он – хороший профессионал, ну, допустим, токарь, музыкант или поэт. Предположим, поэт. Он допускает “противное”, дескать, он посредственный. Потом берет какие-нибудь авторитетные конкурсы, где участвовал, в общем, перечисляет свои заслуги и говорит, посредственный поэт не мог всего этого достичь, а значит (от противного) я – хороший поэт. Допустим, он получил второе место на некоем конкурсе со строгим жюри и большим числом участников. Тогда он мог бы аргументировать свою точку зрения так:

“Допустим, я посредственный поэт. Но тогда я бы не получил второе место на том конкурсе. А я его получил. Значит, я хороший поэт”.

Или одной фразой:

“Если бы я был посредственным поэтом, я бы не получил второе место на том конкурсе”.

Распишем это в формулах. Что у нас надо доказать? A = “я хороший поэт”. Надо доказать, что это – истина. Что у нас “противно истине”? ~A = “я посредственный поэт”. Что у нас в результате получается, если исходить из этого “противного ”допущения”? Получается: “не получил второе место на том конкурсе”. Там есть частица “не”, так что там отрицание ~B, где B = “получил второе место на том конкурсе”. Далее мы замечаем, что ~B – абсурд, ведь на самом деле верно B, получил второе место. Смотрим на схемы, находим подходящую:

(B & (~A =>> ~B) ) =>> A

Что можно возразить к такому доказательству? Например, можно сказать, что поэт получил второе место “по блату”. Тем самым мы ставим под сомнение условное высказывание ~A =>> ~B. Мы говорим: это неправда. Не правда, что посредственный поэт (~A) не мог получить второе место (~B), очень даже мог (B), например, по блату.