Текстовый парадокс
Mar. 25th, 2009 03:34 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicТексты могут определять целые числа. Например текст "три" определяет число 3, текст "два в квадрате" определяет число 4.
Рассмотрим все возможные тексты на русском языке длиной не более 1000 символов. Количество таких текстов конечно. Верхний предел - количество возможных комбинаций из 1000 символов. Каждый символ может быть русской буквой (большой или малой), пробелом, знаком препинания, цифрой. В общем, число разных символов тоже ограничено, скажем сотней. Итого может быть не более 100 в степени 1000 текстов. Число астрономически большое, но конечное.
Среди текстов возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами. Возьмем число на единицу большее.
--
Текст выше черточек "--" написан на русском языке и длиной длиной не более 1000 символов. Он определяет целое число, которое... больше максимально возможного для таких текстов. Парадокс.
--
В чем здесь дело?
Данный парадокс представляет собой чистый софизм, то бишь рассуждение со скрытой логической ошибкой. Неявно предполагалось, что учитываются только те тексты, которые определяют только одно число. Для рассуждения важно, чтобы число определенных чисел было конечно, поскольку конечное подмножество целых чисел имеет максимум. Если же хотя бы один текст определяет бесконечное количество целых чисел, то рассуждение не получается. Например, текст "все целые числа" все портит.
Кажется очевидным, что такие тексты не надо при подсчете принимать во внимание, как и те тексты, которые не выражают вообще никаких чисел или выражают, но не целые (чтобы не заморачиваться введением меры).
Но приведенный текст как раз и относится к тем текстам, что не определяют конкретного числа, либо определяют бесконечное количество чисел, просто это хорошо скрыто.
В тексте есть инструкция: "возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами". Допустим мы определили максимум M для всех прочих текстов. А какое число определяет текст из парадокса?
Надо признать, что никакое, т.е. этот текст должен быть исключен из рассмотрения. И максимальное число - по прежнему M.
Если же мы предположим, что текст определяет некое конкретное число Z, тогда, перечитав текст еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 1. Перечитав еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 2. И так далее, бесконечная рекурсия (или индукция - как кому нравится). Тогда этот текст определяет бесконечное количество чисел, а такие тексты тоже полагается из рассмотрения исключать. И максимальное число - по прежнему M, и никакого парадокса.
Рассмотрим все возможные тексты на русском языке длиной не более 1000 символов. Количество таких текстов конечно. Верхний предел - количество возможных комбинаций из 1000 символов. Каждый символ может быть русской буквой (большой или малой), пробелом, знаком препинания, цифрой. В общем, число разных символов тоже ограничено, скажем сотней. Итого может быть не более 100 в степени 1000 текстов. Число астрономически большое, но конечное.
Среди текстов возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами. Возьмем число на единицу большее.
--
Текст выше черточек "--" написан на русском языке и длиной длиной не более 1000 символов. Он определяет целое число, которое... больше максимально возможного для таких текстов. Парадокс.
--
В чем здесь дело?
Данный парадокс представляет собой чистый софизм, то бишь рассуждение со скрытой логической ошибкой. Неявно предполагалось, что учитываются только те тексты, которые определяют только одно число. Для рассуждения важно, чтобы число определенных чисел было конечно, поскольку конечное подмножество целых чисел имеет максимум. Если же хотя бы один текст определяет бесконечное количество целых чисел, то рассуждение не получается. Например, текст "все целые числа" все портит.
Кажется очевидным, что такие тексты не надо при подсчете принимать во внимание, как и те тексты, которые не выражают вообще никаких чисел или выражают, но не целые (чтобы не заморачиваться введением меры).
Но приведенный текст как раз и относится к тем текстам, что не определяют конкретного числа, либо определяют бесконечное количество чисел, просто это хорошо скрыто.
В тексте есть инструкция: "возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами". Допустим мы определили максимум M для всех прочих текстов. А какое число определяет текст из парадокса?
Надо признать, что никакое, т.е. этот текст должен быть исключен из рассмотрения. И максимальное число - по прежнему M.
Если же мы предположим, что текст определяет некое конкретное число Z, тогда, перечитав текст еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 1. Перечитав еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 2. И так далее, бесконечная рекурсия (или индукция - как кому нравится). Тогда этот текст определяет бесконечное количество чисел, а такие тексты тоже полагается из рассмотрения исключать. И максимальное число - по прежнему M, и никакого парадокса.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-05-02 06:38 pm (UTC)Составим упрощенную модель приведенного парадокса.
Введем псевдоязык. Для начала, в нем будет один символ "1" (единица или палочка). Теперь с помощью этого текста будем формировать числа: "1", "11", "111", - ограничим длину в 3 символа. Тогда в нашем случае получим, что максимальное число будет "111" (тройка).
Введем в наш псевдоязык следующий символ "м"(эм или максимум). Определим его так - это максимальное число, которое мы можем составить с помощью нашего псевдоязыка и ограничиваясь 3-мя символами (определение сформулировано по аналогии с ситуацией в парадоксе).
Начнем с того, что "м" будет равен уже известному нам максимуму - "м"="111". Теперь мы можем сделать еще большее число "м1". И тогда наш максимум "м" становится не самым максимальным, который можно построить из "1" и "м".
Конец модели, далее размышления.
Думаю здесь стоит разбираться с самим определением максимума "м". В одном случае можно считать, что "ммм" будет окончательным максимумом (9 единичек), самым большим числом нашей системы. В другом - как бы заново попытаться присвоить "м"-максимуму новое значение в виде числа "ммм", и получить масаракш в виде "м"="ммм".
В обоих случаях нужно дорабатывать определение символа "м", раз уж такая неоднозначность имеет место быть. А для второго случая, наверное, следует доработать еще и саму систему, добавив туда понятие итерации или еще чего полезное из чего можно будет получить хоть какой-то результат. Также, доработав систему или определение, можно исключить из нее все сочетания вида "м1", "м11", "мм1"... - похожие на число большее чем "м"="111". Но последнее, наверно, равносильно исключению символа "м" из нашего псевдо языка, оставляя понятие максимум на уровне подразумеваемости, вне системы.
Кроме определения максимального числа в условиях данного парадокса есть еще неточности. Так, например, можно "реализовать" любое наперед заданное число. Достаточно подразумевать под символом "м" число равное этому наперед заданному числу. Или под "м" подразумевать такую операцию с помощью которой можно будет получить это самое число (вроде х="м1" или х="1м1"). А еще, символом "м" мы можем обозначить самое большое число на свете. И по условиям нашей подразумеваемости прибавить к такому числу что-либо будет уже делом некорректным.