Парадокс заключенного

[psilogic]

Это парадокс также называется "парадокс узника", "парадокс неожиданной казни". Есть еще "дилемма бандита" или "дилема заключенного" - совсем другой парадокс, где фигурируют два заключенных, которым надо как-то кооперироваться или нет.

Автор парадокса мне неизвестен. Постараюсь пересказать его покороче:

В воскресенье судья вынес преступнику такой приговор:
— Тебя казнят в один из семи дней следующей недели (с понедельника по воскресенье), но когда именно это случится, ты узнаешь только утром в день казни.
На что преступник ответил:
— Если бы мне объявили о казни утром в воскресенье, тогда я бы знал о казни уже в субботу днем - после того, как не дождался бы уведомления в субботу утром. Таким образом, казнь не может быть исполнена в воскресенье, и суббота - последний возможный день. Но, если бы мне объявили о казни утром в субботу, тогда я бы знал о казни уже в пятницу днем - после того, как не дождался бы уведомления в пятницу утром. Таким образом, казнь не может быть исполнена и в субботу, и последним возможным днем оказывается пятница. Рассуждая далее, я исключаю четверг, среду, вторник. Но тогда получается, что казнь состоится завтра, в понедельник, но я о ней узнал уже сейчас, в воскресенье. Выходит, вы меня не казните.

Как обычно для парадоксов, выраженных в форме текста, есть много вариантов. Например, в финале преступник может потребовать освобождения. Или же он только заявляет, что приговор невозможно исполнить. Или же он делает вывод, что его не казнят, а в среду утром является палач, что для заключенного становится полной неожиданностью. В результате приговор оказывается исполненным, ведь до утра среды он был уверен, что его не казнят.

Здесь есть большая опасность погрязнуть в обсуждении вариантов и деталей. Чтобы этого не произошло, я нарушу традиционную последовательность рассмотрения этого парадокса и начну сразу с решения, затем поясню, чем это решение интересно, и только затем рассмотрю "вариации на тему" в свете этого решения.

Схема казни такова. В понедельник утром палач бросает жребий, выпадает один из семи дней: от понедельника до воскресенья включительно. В этот день утром он приходит к преступнику и заявляет, что сейчас же его и казнит. После чего в самом деле казнит. А до того утра никто не говорит преступнику о дне казни и не дает никаких дополнительных намеков.

Знает ли преступник описанную выше схему казни? Предположим, что знает. Тогда, если выпадет воскресенье, то уже в субботу днем он будет знать, когда его казнят. Таким образом, приговор будет исполнен лишь частично: обещание "Тебя казнят в один из семи дней следующей недели (с понедельника по воскресенье)" будет исполнено, а обещание "когда именно это случится, ты узнаешь только утром в день казни" - не будет. Если же жребий выпадет на другой день, то оба обещания будут исполнены.

Таким образом, приговор будет исполнен в 6 случаях из 7, а в 1 случае из 7 будет исполнен лишь отчасти. Другими словами, шанс точного исполнения приговора равен 6/7.

Это не истина и не ложь, а нечто среднее - тот самый случай, когда двузначная логика подходит плохо.

Кое-какие дополнительные моменты рассмотрены на сайте (Полный текст здесь)

Повод - очередное обсуждение парадокса у Кактуса77.

Comments

[vic-gorbatov.livejournal.com]

Спасибо за ссылку на Кактуса77, мне очень понравилось его решение!
Хотя, честно говоря, этот "велосипед" изобрели еще в 1960г.: D. Kaplan and R. Montague. A Paradox Regained // Notre Dame J. Formal Logic Volume 1, Number 3 (1960) http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ndjfl/1093956549

[psilogic.livejournal.com]

Который именно "велосипед" - чтобы трактовать "знать" как "уметь доказать" или что?

[vic-gorbatov.livejournal.com]

В данном случае - не просто "уметь доказать", а фактически "уметь логически ввести из условий задачи", т.е. знать без привлечения каких-либо дополнительных источников (типа подкупа тюремщика с целью выведать у него информацию или созданию прибора, предсказывающего будущее). В противном случае, как показали Каплан и Монтегю, парадокс не возникает.

[psilogic.livejournal.com]

OK, понятно.

[alexey-rom.livejournal.com]

Если в условия не входит "Судья всегда строго выполняет приговоры, и преступник об этом знает", то никакого парадокса не возникает. А это условие в предложенном решении не выполняется.

[psilogic.livejournal.com]

Смотря как формализуется условие "судья всегда строго выполняет приговоры"...

[rojo-blanco.livejournal.com]

Вот что бывает, когда люди несут всякую чушь, не задумываясь. Откуда судья вообще решил, что заключенный узнает что-то именно утром перед казнью, а не умрет раньше по какой-то причине? И что казнь вообще состоится?

"ничего себе неделька начинается", - подумал Штирлиц

[richard-grm.livejournal.com]

для начала можно придраться к словам подсудимого - "выходит, вы меня не казните".
после этих слов его можно казнить в любой день, включая воскресенье.
потому что он теперь не может утверждать, будто точно знал о казни.
он мог только предполагать.
ведь он допускает два возможных варианта: либо меня казнят, либо оставят в живых, не в силах выполнить условие судьи.
а раз так, то всё его "знание" — лишь предположение, один из вариантов.
но есть возражение: он мог не произносить последнюю фразу.

"методологический" вариант выглядит так.
преступник утверждает, что может предсказать день казни, пользуясь неким логическим алгоритмом.
тогда его можно казнить во вторник.
ведь до этого он предсказал свою казнь в понедельник, казни в понедельник не было, следовательно его теория, предсказывающая день казни, неверна, т.к. противоречит фактам.
но тут он может возразить, что всякий раз получал новые данные, т.е. его теория в понедельник вечером — не такая, как во вторник.

можно воспользоваться "юридическим" вариантом: казнить его в воскресенье.
до этого он шесть раз неправильно предскажет день смерти, и нет оснований утверждать, что преступник в состоянии предсказать день казни.
но легко придумать и контраргумент: в субботу его предсказание действительно обоснованно и самоочевидно.
вряд ли кто-то в состоянии предсказать за год, когда пойдет дождь.
а вот накануне это уже возможно.


но все эти варианты не имею прямого отношения к логике и собственно парадоксу.
это, скорее, придирки к форме его изложения.
парадоксальной данную ситуацию делает вот что.
допустим, в субботу вечером преступник заявляет, что знает: завтра, в воскресенье его казнят.
но его не могут казнить, ведь он не должен знать день своей казни.
тогда получается, что завтра его не казнят.
но тогда его знание неверно: он полагает, что его казнят, а его не казнят.
значит, его можно казнить!
но тогда его знание станет верным, его нельзя казнить и т.д.
вот такой парадокс.

вопрос, что следует из этого парадокса.
значит ли, что его нельзя казнить?
на мой взгляд — нет.

его не могут казнить в n-й день недели при условии, что он знает, то его казнят в этот день.
ему никто не сообщает, когда его казнят.
т.е. он "узнаёт" день благодаря логическим выкладкам.
это его и погубит.
поскольку у нас в субботний вечер (равно как и в прочие) получается противоречие (и могут, и не могут), то он не может получить единственно верный ответ путем логических рассуждений.
следовательно, неверно утверждать, что он знает о дне казни даже в субботу вечером.

конечно, можно возразить: он утверждал, что его казнят в воскресенье, и его казнили в воскресенье.
но это уловка: он должен был доказать это, а не просто утверждать — вдруг он там монетку подбрасывает и "утверждает".
а исходя из известных ему предпосылок (тебя казнят на этой неделе.и. в день которого ты не будешь знать заранее) нельзя получить однозначный логический вывод.
поэтому, рассуждая, он, строго говоря, не мог узнать дня своей казни.
только предположить.

можно возразить, что он не был уверен в обязательности выполнения приговора.
т.е. исходил из предпосылки: если тебя не убьют на этой неделе в день, который ты не знаешь, то, возможно, казнь отменят.
но тогда мы получаем первую описанную мной ситуацию: его можно казнить в любой день.
он не может утверждать, что точно знал о казни, т.к. допускал возможность её избежать.