psilogic | Про теорию категорий в стиле фэнтези

Тут пошла такая пьянка:

avva помянул теорию категорий... причем, помянули в таком смысле, что это нечто жутко абстрактное, непонятно, как объяснить простым смертным.

Захотелось мне посмотреть, что за страшная такая теория категорий. То есть, попробовать объяснить хотя бы самому себе. :)

Начинать я люблю с определений: раз и два.

Ну что тут скажешь: видим образчики того, как составить определение так, "чтобы никто не догадался". Как нарочно, чтобы было непонятно. Значков много, разложены значки кривовато. Например, определение в вики содержит такое:

"задано множество морфизмов (или стрелок) Hom_C(A,B)..."

- ну и к чему относится "Hom" - к понятию "морфизм" или к понятию "множество морфизмов"? Я сначала подумал первое, потом стал читать дальше, оказалось - второе. Вот и получается: вроде как математика, формулы, а все-равно - двусмысленности.

Дальше пошли примеры, и, когда сопоставил примеры с определениями, стало более-менее ясно. Не так страшен черт, как его малюют. И объяснить, вроде бы, не так уж и сложно - по крайней мере себе. Можно даже в стиле фэнтези.

Объект

Во-первых, представьте себе некий "объект". Тут есть первая психологическая ловушка - для примера может прийти в голову что-то простое типа "число 5" или "точка A". Так вот, не берите простое, берите сразу сложное - и тогда (как ни парадоксально) понять будет проще.

В качестве объекта возьмем... робота-трансформера или... мага-полиморфа. Маг-полиморф - это который умеет превращаться в разных животных. Все-таки предпочту второе - когда-то для одной игрушки программировал магов-полиморфов, ностальгия, знаете ли. :)

Вот что такое объект. А в категории таких объектов много. То есть, клан магов-полиморфов например. Замечу: это вовсе НЕ аналогия и не художественная метафора, это - вполне корректный пример, частный случай, поскольку теория категорий почти не ограничивает, что именно считать объектами.

Морфизм = превращение

Во-вторых, понятие "морфизм" или "стрелка". Маг-полиморф говорит: "лупус-задрупус-мордус-впередус-жопус-в-хвостус" и превращается, скажем, в волка. Вот морфизм - это и есть превращение. Опять же, для понятности лучше представлять себе превращение сложного объекта в другой сложный объект. Дальше я буду часто говорить "превращение" - мне кажется, это "качественный" и интуитивно понятный перевод термина "морфизм" на русский язык.

Кстати, еще одна психологическая ловушка, мешающая пониманию: слово морфизм - существительное. Но существительные по-умолчанию ассоциируются с предметами. А морфизм удобнее представлять себе как действие с началом и завершением.

Композиция = последовательное превращение

Есть один тонкий момент: может быть много заклинаний превращения мага в волка. Например, заклинание "лупус-задрупус..." заставляет хвост постепенно вырастать из задницы, а заклинание "хомо-дисперсус-конденсус-канис" запускает сложный процесс: сначала превращает мага в облако протоплазмы (первая часть - "хомо-дисперсус"), а потом из облака формируется матерый волчара (вторая часть - "конденсус-канис").

Последний пример называется "композиция". Композиция - это два превращения, идущих друг за другом: маг -> облако протоплазмы -> волк.

Еще одно извращение, мешающее пониманию: вместо того, чтобы писать превращения в порядке применения, их пишут наоборот:

("конденсус-канис" o "хомо-дисперсус")

- значок "o" - обозначает операцию композиции. Почему пишут наоборот - не знаю, может, изобретатель теории категорий был евреем, и ему так привычнее :)

Тождественный морфизм = превращение в себя

А теперь представим себе студента школы магии. Перепутал он "у" и "о" в астральных формулах. Начал балаболить: "лОпус-задрОпОс..." - и дело не пошло. Хвост начал отрастать, но отвалился и испарился. И вроде бы все на месте - лишних деталей не осталось. То есть, была некая попытка превращения, но объект вернулся в прежнее состояние. Вот вам тождественный морфизм.

Категория

Категория - это когда есть совокупность объектов (пример: клан магов-полиморфов), совокупность морфизмов (пример: заклинания превращения, которые используют те маги) и выполняется еще парочка условий.

Что за условия? Да ничего особенного - пара аксиом: ассоциативность и закон тождества.

- Ассоциативность. Пусть маг-полиморф может принимать 4 формы: человек, волк, собака, кот. И пусть есть 4 заклинания:
1. человек->волк
2. волк->собака->кот
3. человек->волк->собака
4. собака->кот
Так вот, закон ассоциативности утверждает, что в кота можно превратиться обоими возможными путями:
(заклинание 1) человек->волк, (заклинание 2) волк->собака->кот
все равно, что:
(заклинание 3) человек->волк->собака, (заклинание 4) собака->кот

- Закон тождества. Пусть есть заклинание превращения в самого себя (как "лОпус-задрОпОс"). Тогда неважно, когда его применять - до другого превращения или после:
человек->волк
все равно, что:
человек->человек, человек->волк
или:
волк->человек
все равно, что:
волк->человек, человек->человек

Всякие-разные морфизмы

Еще один студент с факультета полиморфизма обнаружил в Книге Заклинаний формулу превращения в дракона. Пробормотал: "драгонаутус-фойер-гросс-райзер!" - и превратился в огромное жЫвотное. Попробовал изрыгнуть пламя - вах! Получается! "Ладно", - подумал он, - "а теперь обратно". Обернулся к подставке, на которой лежала книга, а там - только пепел. Упс! Кажется, перестарался огнеметчик.

Вот когда для заданного превращения все-таки есть возможность превратиться обратно - тогда это превращение называется "изоморфизм".

Студент стал искать выход из своего затруднительного положения. Оказалось, что подходящего заклинания - чтобы превратиться из дракона прямиком в человека - никак не обнаруживается. Но нашлось нечто другое: куча заклинаний превращения из дракона в разных животных. Студент решил посмотреть, нельзя ли скомбинировать все эти заклинания так, чтобы найти путь к человеческому облику. Обнаружилось, что есть заклинание лемур->человек и длинная, сложная цепочка заклинаний, ведущих от дракона к лемуру. Причем, единственная цепочка.

Вот такая ситуёвина, когда для первой части превращения есть только один подходящий метод, называется "мономорфизмом".

А "эпиморфизм" – это когда есть только один подходящий вариант для заданной второй части. Скажем, обнаружилось, что из дракона можно превратиться в виверну, тогда студент стал искать путь превращения из виверны в человека, и нашел только один вариант.

"Биморфизм" – когда и для первой, и для второй части есть по одному подходящему варианту.

"Эндоморфизм" – когда одно превращение или серия превращений возвращает к исходной точке, например человек->волк->человек.

"Автоморфизм" – изоморфизм И эндоморфизм.

Тонкость, которую я НЕ понял: чем отличаются тождественный морфизм, эндоморфизм и автоморфизм? На первый взгляд – это одно и то же, в смысле определения эквивалентны. Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является единичным? Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является изоморфизмом?