1. и 2. Все верно, классическая логика может быть формально определена различными способами. Исторически закон исключенного третьего был воспринят раньше (Аристотель). Более того, закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания эквивалентны. В частности, Брауэр отверг именно закон исключенного третьего.
3. Естественно так. В теории множеств самой "пакостной" аксиомой считается аксиома выбора (хотя единственный аргумент в пользу ее "неестественности" - признание неестественным закона исключенного третьего). Она, порождая парадоксы существования, может быть устранена с наименьшими потерями, в отличие от других аксиом теории множеств. Но даже ее устранение рушит все здание физики, что неприемлемо.
4. Созвучно с 1. и 2. Если речь о законах логики, именно из лжи следует все что угодно. "из противоречия следует все, что угодно" - это верно для исчисления высказываний. Ваш вариант не точнее, он просто столь же верен.
5. Давайте не будет путать законы классической логики и аксиомы исчисления высказываний. Если аксиомы исчисления высказываний (с импликацией и отрицанием) реализуют закон исключенного третьего, неестественность этого закона неизбежно приводит к неестественности аксиоматизируемых свойств импликации (или, по крайней мере, одного из них).
1/2. Вообще-то они не совсем эквивалентны. Обязательно потребуются дополнительные аксиомы, чтобы вывести одно из другого. В зависимости от выбора этих аксиом, вывод может получиться или не получиться. Я согласен, что выбор аксиом в какой-то мере произволен. Сейчас обычно за аксиому берут двойное отрицание (как внешне более простую формулу) и выводят закон исключенного третьего. Но, в принципе, можно сделать и наоборот.
4,5 Мне показалось, что под "классической логикой" подразумевалось конкретно "классическое исчисление высказываний" (КИВ). А о какой "классической логике" говорили вы?
Мне кажется проблема вовсе не в законе исключенного третьего, а в неправильной формализации условных конструкций "если ... то..."
Под классической логикой подразумевалась обычная формальная логика. Эпитет "Классическая" к ней был добавлен с целью отделения от неклассических (которые, в общем-то, тоже являются формальными).
Собственно, почему я прицепился именно к закону исключенного третьего. Интуиционизм как раз позволяет импликацию интерпретировать по принципу причина-следствие, это, отчасти, и было причиной его возникновения. И, как, я уже говорил выше, интуиционизм содержательно отказывается именно от закона исключенного третьего. Исчислений, реализующих эту идею, довольно много, если честно, я слабо помню их формальные определения, в меру сил пытаюсь только ловить их содержательный смысл.
[ Под классической логикой подразумевалась обычная формальная логика. ]
А какая из "формальных" - "обычная"??? Булева алгебра? КИВ? Исчисление предикатов? Теория множеств? Арифметики? Или вообще какая-нибудь долбанутая логика аристотеля?
[ Интуиционизм как раз позволяет импликацию интерпретировать по принципу причина-следствие, это, отчасти, и было причиной его возникновения. ]
Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q. http://ariom.ru/wiki/IntuicionistskajaLogika
Дело в том, что такое определение импликации не позволяет утверждать бреда о Раскольникове. Услиенно ищу формальную запись аксиом интуиционистской логики (под рукой, к сожалению нет), найду, выложу. Буду признателен, если обладаете и поделитесь ссылкой.
Примерно тем же, чем римская 60-ричная система счисления :) Громоздко очень и своей громоздкостью затрудняет освоение и провоцирует на ошибки.
[ Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q ]
То есть, в статье приравняли импликацию к дедуктивному следованию. Это не совсем правильно, но, в принципе, лучше, чем с Раскольниковым :)
[ Услиенно ищу формальную запись аксиом интуиционистской логики ]
могу написать, если интересно :) там всего одна аксиома отличается от системы аксиом КИВ
КИВ: Схемы аксиом (т.е. на место каждой переменной в схеме может быть поставлена любая формула КИВ, но одинаковые формулы на место одинаковых переменных)
Свойства "=>" 1. A => (B => A) 2. (A => B) => ((A => (B => C)) => (A => C) Свойства "~" 3. ~~A => A 4. (A => B) => ((A => ~B) => ~A) - эти 4 аксиомы (или из эквиваленты) обязательны для КИВ. Остальные аксиомы опциональны. Если мы вводим какую-то операцию (например, "&") то должны и добавить соответствующую группу аксиом:
Для "&": (A & B) => A (A & B) => B A => (B => (A & B))
Для "v": A => (A v B) B => (A v B) (A => C) => ((B => C) => ((A v B) => C))
Для "<=>": (A <=> B) => (A => B) (A <=> B) => (A <= B) (A => B) => ((B => A) => (A <=> B))
Для "+" (XOR): (A + B) => (~A => B) (A + B) => (B => ~A) (A => ~B) => ((~B => A) => (A + B))
Плюс правило вывода modus ponens: A, A => B |- B
В интуиционизме делается одна замена. На место игрока номер 3: 3. ~~A => A Приходит другой игрок номер 3: 3. ~A => (A => B)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2005-12-06 03:37 pm (UTC)3. Естественно так. В теории множеств самой "пакостной" аксиомой считается аксиома выбора (хотя единственный аргумент в пользу ее "неестественности" - признание неестественным закона исключенного третьего). Она, порождая парадоксы существования, может быть устранена с наименьшими потерями, в отличие от других аксиом теории множеств. Но даже ее устранение рушит все здание физики, что неприемлемо.
4. Созвучно с 1. и 2. Если речь о законах логики, именно из лжи следует все что угодно. "из противоречия следует все, что угодно" - это верно для исчисления высказываний. Ваш вариант не точнее, он просто столь же верен.
5. Давайте не будет путать законы классической логики и аксиомы исчисления высказываний.
Если аксиомы исчисления высказываний (с импликацией и отрицанием) реализуют закон исключенного третьего, неестественность этого закона неизбежно приводит к неестественности аксиоматизируемых свойств импликации (или, по крайней мере, одного из них).
no subject
Date: 2005-12-06 04:29 pm (UTC)4,5 Мне показалось, что под "классической логикой" подразумевалось конкретно "классическое исчисление высказываний" (КИВ). А о какой "классической логике" говорили вы?
Мне кажется проблема вовсе не в законе исключенного третьего, а в неправильной формализации условных конструкций "если ... то..."
no subject
Date: 2005-12-06 04:53 pm (UTC)Собственно, почему я прицепился именно к закону исключенного третьего. Интуиционизм как раз позволяет импликацию интерпретировать по принципу причина-следствие, это, отчасти, и было причиной его возникновения. И, как, я уже говорил выше, интуиционизм содержательно отказывается именно от закона исключенного третьего. Исчислений, реализующих эту идею, довольно много, если честно, я слабо помню их формальные определения, в меру сил пытаюсь только ловить их содержательный смысл.
no subject
Date: 2005-12-06 05:05 pm (UTC)А какая из "формальных" - "обычная"??? Булева алгебра? КИВ? Исчисление предикатов? Теория множеств? Арифметики? Или вообще какая-нибудь долбанутая логика аристотеля?
[ Интуиционизм как раз позволяет импликацию интерпретировать по принципу причина-следствие, это, отчасти, и было причиной его возникновения. ]
Можно с этого места по-подробнее?
no subject
Date: 2005-12-06 05:55 pm (UTC)Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.
http://ariom.ru/wiki/IntuicionistskajaLogika
Дело в том, что такое определение импликации не позволяет утверждать бреда о Раскольникове. Услиенно ищу формальную запись аксиом интуиционистской логики (под рукой, к сожалению нет), найду, выложу. Буду признателен, если обладаете и поделитесь ссылкой.
no subject
Date: 2005-12-06 06:07 pm (UTC)Примерно тем же, чем римская 60-ричная система счисления :) Громоздко очень и своей громоздкостью затрудняет освоение и провоцирует на ошибки.
[ Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q ]
То есть, в статье приравняли импликацию к дедуктивному следованию. Это не совсем правильно, но, в принципе, лучше, чем с Раскольниковым :)
[ Услиенно ищу формальную запись аксиом интуиционистской логики ]
могу написать, если интересно :) там всего одна аксиома отличается от системы аксиом КИВ
no subject
Date: 2005-12-06 06:35 pm (UTC)А еще интересно, что, похоже вы сегодня не первый раз меня ловите на заблуждениях, тока я пока в этом не признаюсь :)
no subject
Date: 2005-12-06 07:12 pm (UTC)Схемы аксиом (т.е. на место каждой переменной в схеме может быть поставлена любая формула КИВ, но одинаковые формулы на место одинаковых переменных)
Свойства "=>"
1. A => (B => A)
2. (A => B) => ((A => (B => C)) => (A => C)
Свойства "~"
3. ~~A => A
4. (A => B) => ((A => ~B) => ~A)
- эти 4 аксиомы (или из эквиваленты) обязательны для КИВ. Остальные аксиомы опциональны. Если мы вводим какую-то операцию (например, "&") то должны и добавить соответствующую группу аксиом:
Для "&":
(A & B) => A
(A & B) => B
A => (B => (A & B))
Для "v":
A => (A v B)
B => (A v B)
(A => C) => ((B => C) => ((A v B) => C))
Для "<=>":
(A <=> B) => (A => B)
(A <=> B) => (A <= B)
(A => B) => ((B => A) => (A <=> B))
Для "+" (XOR):
(A + B) => (~A => B)
(A + B) => (B => ~A)
(A => ~B) => ((~B => A) => (A + B))
Плюс правило вывода modus ponens:
A, A => B |- B
В интуиционизме делается одна замена. На место игрока номер 3:
3. ~~A => A
Приходит другой игрок номер 3:
3. ~A => (A => B)