Про множества...
May. 6th, 2006 12:33 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicГлючило меня давеча на тему x = {x}. Крепко сам себе я заморочил голову, но в результате сегодня утречком наступило озарение. Результат попытаюсь внятно написать, чтобы было не только математикам-профи понятно, о чем базар.
В математике есть такой раздел - теория множеств, которая составляет логическую основу математики. Вопрос в том, нельзя ли ее применить к обыденным рассуждениям? Вроде бы можно. Мне тут заявили что-то вроде: а с чего вы взяли, что теория множеств применима вне математики? А от вас, господа математики, и взял: любите вы приводить в качестве примеров множеств и операций над ними не числа и абстрактные символы, а реальные предметы. Я понимаю, что сейчас "модно" отрывать математику от ее приложений, но мне эта мода шибко не нравится, так что подобные примеры я только приветствую.
краткое введение в тему для непрофессионалов
Что такое множество?
Множество - это имя для совокупности объектов, обладающих определенным свойством (C) Кантор.
Чуть более развернуто:
Множество - это обозначение для уникальной совокупности неповторяющихся и неупорядоченных объектов, удовлетворяющих определенному правилу, причем, обозначение и правило не включаются в понятие множества.
"Обозначение" - то же самое, что "имя" в определении Кантора, просто это более по-русски (не надо объяснять, что имел в виду К. под словом "имя").
"Уникальной" - в том смысле, что совокупность, содержащая те же самые элементы, считается тем же самым множеством, даже если обозначена другой переменной или другими словами. Т.е. обозначение совокупности не входит в понятие.
"Неповторяющихся" - в том смысле, что если в совокупность дважды попадает один и тот же объект, он считается только один раз.
"Неупорядоченных" - в том смысле, что если совокупность строится последовательно, и объекты в нее могут отбираться в разном порядке, то это будет одно и то же множество, независимо от порядка.
"Правило" - то же самое, что "свойство" в определении Кантора, просто это более по-русски. Можно потребовать соблюдения сразу нескольких свойств, оформить это в виде правила или системы правил, это тоже будет множество.
"Правило не включается в понятие множества" - в том смысле, что если найдется другое правило, отбирающее те же самые элементы, то это будет то же самое множество.
конец краткого введения в тему для непрофессионалов
В юности я был очень занудным, въедливым школьником и студентом, мучившим учителей и преподавателей выяснением малейших деталей, которые можно быть неоднозначно толковать или которые вызывали хотя бы легкое интуитивное подозрение. Сейчас я в таких случаях мучаю в основном самого себя. На вопросы, обращенные к другим, я редко получаю удовлетворяющие меня ответы... чаще что-нибудь вроде: “Нафиг тебе этим заморачиваться? Есть же формальная модель...” Но все-таки вопросы не совсем бесполезны: ответы если и не дают немедленного решения, то хотя бы наводят мысли на пути, которые еще не были опробованы.![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
zhuzh в этом смысле большой молодец, т.к. напомнил мне о самых очевидных вещах в тот момент, когда я углубился в какие-то дебри :)
Все-таки, я привык доверять своему чувству этакого интуитивного подозрения, ощущения какой-то скрытой неправильности. Обычно оно меня не подводит и помогает обнаруживать интересные фишки.
Так вот в этот раз я по какому-то поводу вспомнил о множествах и представил себе, что пытаюсь доказать очень въедливому студенту (понятно, с кого взят его образ), отчего в теории множеств x ≠ {x}.
Что касается формализма, то, как говорится “все плохо”. Если допустить, что x = {x}, то сразу появляется куча проблем: аксиома фундирования бодро идет лесом, а из лесу выползают старые парадоксы с немного обновленными рожами, пустое множество становится собственным элементом, и оттого вдруг становится непустым и т.п. Это все очевидно.
Но в то время, как в теории множеств воцаряется хаос, в реальной жизни – тишь, гладь и благодать. А это очень плохой признак (для меня лично), когда теория, которая предположительно хороша для практики, вдруг так сильно с практикой расходится.
Ну например.
Возьмем “множество юзверей ЖЖ, использующих ник psilogic”. Множество включает в себя один элемент – меня любимого. Это у нас {y}. А теперь просто y – я сам. Ну и в чем разница? Один и тот же объект с точностью до атома. И так со всем прочим.
Можно попробовать сказать, что {x} – это когда нечто заключено в воображаемый контейнер, а x – без контейнера. Но тогда облом: контейнер то воображаемый, а я говорю о реальных вещах. Если убрать воображаемое, то снова в реальном мире – тишь да гладь.
Ладно... берем объединение множеств, как подсказал zhuzh. Пусть y – это я, а z – это zhuzh. {y} ∪ {z} = {y, z}, т.е. Просто два человека. А y ∪ z? Чтобы вычислить y ∪ z, надо понять, какие элементы входят в эти самые y и z. Ну допустим элементы – клетки, из которых состоят наши тела (биологи, не придирайтесь, я в курсе, что помимо клеток есть еще циркулирующие вне клеток жидкости типа кровь минус клетки крови, лимфа минус клетки лимфы). Тогда y ∪ z – это набор клеток из тел двух человек. Вот тут разница заметна: если в {y, z} два человека представлены целиком, то в y ∪ z двоих бедняг какой-нибудь маньяк может и в капусту порубить – а получится тот же набор клеток.
Казалось бы, решение найдено? А вот хрен! Мы ведь выполнили две разные операции: в одном случае объединили двух людей, в другом – их клетки. А почему мы выполнили разные операции? Ах ты черт! Приходится признать, что только руководствуясь правилами теории множеств, реальных предпосылок к тому не было.
Решение нашлось, и оказалось совсем непохожим на те рассуждения, что выше. Просто резкий скачок на другой уровень, и все.
Коротко: x – это то, что в реале. {x} – это то, что в голове.
А теперь подробно.
Когда мы говорим: “река Енисей” – мы, казалось бы, имеем в виду отдельный объект x, а не множество? Нет! Мы имеем в виду: “река, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – эта длинная фраза, но по смыслу она эквивалентна “река Енисей”. “Река Енисей” – просто сокращение, но настолько привычное, настолько “забитое в подкорку”, что как сокращение не воспринимается, но напротив, длинная версия кажется каким-то громоздким извращением. Громоздкое. Но не извращение. “Река, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – это ведь то самое правило, которое используется при построении множества. Сколько рек на свете, которые у русскоговорящих называются “Енисеем”? Одна. Т.е. по правилу был отобран один объект, и получилось множество. {x}!
А что такое x? А x – это сама река в реале, физический объект. {x} – то, что в мыслях и в языке.
Осталось только признать очевидный факт, что {x} – множество и сделать длинную фразу еще более длинной: “Множество рек, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – и это тоже {x}.
То же самое относится к любому имени собственному. Все, что в мыслях и на языке – это множества, т.к. любое “называние” любое слово автоматически активирует какие-то условия, по которым слушатель отбирает из универсума объекты, которые подходят под это условие. Результат может быть пустым множеством (“невыдуманные летающие крокодилы”), множеством со многими элементами (“жжисты”) и множеством, состоящим из одного элемента (“юзер zhuzh”) – но всякий раз множеством. Различие между x и {x} в данном случае будет различием между физическим объектом и представлениями о нем. Думаю, самому въедливому студенту не надо объяснять, что разница обычно есть.
Странности, описанные выше, решаются в таком случае просто. Когда мы говорим “zhuzh и psilogic” мы имеем в виду {y} ∪ {z} или {y, z}. y ∪ z мы просто не можем сказать, т.к. сказанное – не есть реально существующее. Реальные объекты – не множества, и операция y ∪ z для них просто не определена.
Использование множеств на практике? А запросто: для понимания того, что хотел сказать человек, какое множество он попытался обозначить своими словами и понимания, где он приврал если что ;) Вот простенький пример. Некто заявляет: “В этом учавствовали zhuzh и psilogic, это практически вся шайка сговорившихся балбесов, за исключением eugenebo”. Вопрос: кого он имел в виду под “шайкой”? Речевой оборот “zhuzh и psilogic” дает
{y} ∪ {z}.
Шайка – тоже некоторое множество, элементы которого мы пока не знаем:
W = {?, ?,...}
Речевой оборот “шайка сговорившихся балбесов, за исключением eugenebo” дает
W \ {e}.
Далее утверждается (“, это практически вся”), что эти множества равны:
{y} ∪ {z} = W \ {e}
Этому утверждению соответствует множество W = {e, y, z}. Вот мы и получили состав “шайки” по мнению гипотетического Некты: eugenebo, psilogic и zhuzh. Примитивная задачка, но как иллюстрация – сойдет.
Извините, если загрузил.
В математике есть такой раздел - теория множеств, которая составляет логическую основу математики. Вопрос в том, нельзя ли ее применить к обыденным рассуждениям? Вроде бы можно. Мне тут заявили что-то вроде: а с чего вы взяли, что теория множеств применима вне математики? А от вас, господа математики, и взял: любите вы приводить в качестве примеров множеств и операций над ними не числа и абстрактные символы, а реальные предметы. Я понимаю, что сейчас "модно" отрывать математику от ее приложений, но мне эта мода шибко не нравится, так что подобные примеры я только приветствую.
краткое введение в тему для непрофессионалов
Что такое множество?
Множество - это имя для совокупности объектов, обладающих определенным свойством (C) Кантор.
Чуть более развернуто:
Множество - это обозначение для уникальной совокупности неповторяющихся и неупорядоченных объектов, удовлетворяющих определенному правилу, причем, обозначение и правило не включаются в понятие множества.
"Обозначение" - то же самое, что "имя" в определении Кантора, просто это более по-русски (не надо объяснять, что имел в виду К. под словом "имя").
"Уникальной" - в том смысле, что совокупность, содержащая те же самые элементы, считается тем же самым множеством, даже если обозначена другой переменной или другими словами. Т.е. обозначение совокупности не входит в понятие.
"Неповторяющихся" - в том смысле, что если в совокупность дважды попадает один и тот же объект, он считается только один раз.
"Неупорядоченных" - в том смысле, что если совокупность строится последовательно, и объекты в нее могут отбираться в разном порядке, то это будет одно и то же множество, независимо от порядка.
"Правило" - то же самое, что "свойство" в определении Кантора, просто это более по-русски. Можно потребовать соблюдения сразу нескольких свойств, оформить это в виде правила или системы правил, это тоже будет множество.
"Правило не включается в понятие множества" - в том смысле, что если найдется другое правило, отбирающее те же самые элементы, то это будет то же самое множество.
конец краткого введения в тему для непрофессионалов
В юности я был очень занудным, въедливым школьником и студентом, мучившим учителей и преподавателей выяснением малейших деталей, которые можно быть неоднозначно толковать или которые вызывали хотя бы легкое интуитивное подозрение. Сейчас я в таких случаях мучаю в основном самого себя. На вопросы, обращенные к другим, я редко получаю удовлетворяющие меня ответы... чаще что-нибудь вроде: “Нафиг тебе этим заморачиваться? Есть же формальная модель...” Но все-таки вопросы не совсем бесполезны: ответы если и не дают немедленного решения, то хотя бы наводят мысли на пути, которые еще не были опробованы.
zhuzh в этом смысле большой молодец, т.к. напомнил мне о самых очевидных вещах в тот момент, когда я углубился в какие-то дебри :) Все-таки, я привык доверять своему чувству этакого интуитивного подозрения, ощущения какой-то скрытой неправильности. Обычно оно меня не подводит и помогает обнаруживать интересные фишки.
Так вот в этот раз я по какому-то поводу вспомнил о множествах и представил себе, что пытаюсь доказать очень въедливому студенту (понятно, с кого взят его образ), отчего в теории множеств x ≠ {x}.
Что касается формализма, то, как говорится “все плохо”. Если допустить, что x = {x}, то сразу появляется куча проблем: аксиома фундирования бодро идет лесом, а из лесу выползают старые парадоксы с немного обновленными рожами, пустое множество становится собственным элементом, и оттого вдруг становится непустым и т.п. Это все очевидно.
Но в то время, как в теории множеств воцаряется хаос, в реальной жизни – тишь, гладь и благодать. А это очень плохой признак (для меня лично), когда теория, которая предположительно хороша для практики, вдруг так сильно с практикой расходится.
Ну например.
Возьмем “множество юзверей ЖЖ, использующих ник psilogic”. Множество включает в себя один элемент – меня любимого. Это у нас {y}. А теперь просто y – я сам. Ну и в чем разница? Один и тот же объект с точностью до атома. И так со всем прочим.
Можно попробовать сказать, что {x} – это когда нечто заключено в воображаемый контейнер, а x – без контейнера. Но тогда облом: контейнер то воображаемый, а я говорю о реальных вещах. Если убрать воображаемое, то снова в реальном мире – тишь да гладь.
Ладно... берем объединение множеств, как подсказал zhuzh. Пусть y – это я, а z – это zhuzh. {y} ∪ {z} = {y, z}, т.е. Просто два человека. А y ∪ z? Чтобы вычислить y ∪ z, надо понять, какие элементы входят в эти самые y и z. Ну допустим элементы – клетки, из которых состоят наши тела (биологи, не придирайтесь, я в курсе, что помимо клеток есть еще циркулирующие вне клеток жидкости типа кровь минус клетки крови, лимфа минус клетки лимфы). Тогда y ∪ z – это набор клеток из тел двух человек. Вот тут разница заметна: если в {y, z} два человека представлены целиком, то в y ∪ z двоих бедняг какой-нибудь маньяк может и в капусту порубить – а получится тот же набор клеток.
Казалось бы, решение найдено? А вот хрен! Мы ведь выполнили две разные операции: в одном случае объединили двух людей, в другом – их клетки. А почему мы выполнили разные операции? Ах ты черт! Приходится признать, что только руководствуясь правилами теории множеств, реальных предпосылок к тому не было.
Решение нашлось, и оказалось совсем непохожим на те рассуждения, что выше. Просто резкий скачок на другой уровень, и все.
Коротко: x – это то, что в реале. {x} – это то, что в голове.
А теперь подробно.
Когда мы говорим: “река Енисей” – мы, казалось бы, имеем в виду отдельный объект x, а не множество? Нет! Мы имеем в виду: “река, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – эта длинная фраза, но по смыслу она эквивалентна “река Енисей”. “Река Енисей” – просто сокращение, но настолько привычное, настолько “забитое в подкорку”, что как сокращение не воспринимается, но напротив, длинная версия кажется каким-то громоздким извращением. Громоздкое. Но не извращение. “Река, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – это ведь то самое правило, которое используется при построении множества. Сколько рек на свете, которые у русскоговорящих называются “Енисеем”? Одна. Т.е. по правилу был отобран один объект, и получилось множество. {x}!
А что такое x? А x – это сама река в реале, физический объект. {x} – то, что в мыслях и в языке.
Осталось только признать очевидный факт, что {x} – множество и сделать длинную фразу еще более длинной: “Множество рек, которую между нами говорящим и слушающими принято называть “Енисей”” – и это тоже {x}.
То же самое относится к любому имени собственному. Все, что в мыслях и на языке – это множества, т.к. любое “называние” любое слово автоматически активирует какие-то условия, по которым слушатель отбирает из универсума объекты, которые подходят под это условие. Результат может быть пустым множеством (“невыдуманные летающие крокодилы”), множеством со многими элементами (“жжисты”) и множеством, состоящим из одного элемента (“юзер zhuzh”) – но всякий раз множеством. Различие между x и {x} в данном случае будет различием между физическим объектом и представлениями о нем. Думаю, самому въедливому студенту не надо объяснять, что разница обычно есть.
Странности, описанные выше, решаются в таком случае просто. Когда мы говорим “zhuzh и psilogic” мы имеем в виду {y} ∪ {z} или {y, z}. y ∪ z мы просто не можем сказать, т.к. сказанное – не есть реально существующее. Реальные объекты – не множества, и операция y ∪ z для них просто не определена.
Использование множеств на практике? А запросто: для понимания того, что хотел сказать человек, какое множество он попытался обозначить своими словами и понимания, где он приврал если что ;) Вот простенький пример. Некто заявляет: “В этом учавствовали zhuzh и psilogic, это практически вся шайка сговорившихся балбесов, за исключением eugenebo”. Вопрос: кого он имел в виду под “шайкой”? Речевой оборот “zhuzh и psilogic” дает
{y} ∪ {z}.
Шайка – тоже некоторое множество, элементы которого мы пока не знаем:
W = {?, ?,...}
Речевой оборот “шайка сговорившихся балбесов, за исключением eugenebo” дает
W \ {e}.
Далее утверждается (“, это практически вся”), что эти множества равны:
{y} ∪ {z} = W \ {e}
Этому утверждению соответствует множество W = {e, y, z}. Вот мы и получили состав “шайки” по мнению гипотетического Некты: eugenebo, psilogic и zhuzh. Примитивная задачка, но как иллюстрация – сойдет.
Извините, если загрузил.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2006-05-06 10:40 am (UTC)no subject
Date: 2006-05-06 10:58 am (UTC)no subject
Date: 2006-05-06 12:16 pm (UTC)Я согласен, что множества - "только в голове". Но не уверен, что все, что "в голове" - множества.
no subject
Date: 2006-05-06 12:36 pm (UTC)Тогда имеет место одна из двух ситуаций.
1. По контексту ясно, какая именно из рек имеется в виду. В этом случае характеристическое свойство (правило) оказывается озвучено не целиком, какая-то часть остается "в уме". Но само правило все равно существует и может быть явно выражено.
2. По контексту неясно. Тогда характеристическое правило выдает множество с несколькими элементами. Грамматика же речи (употребление в единственном числе) указывает на то, что множество имеет один элемент. Возникает противоречие, на которое мы обычно и указываем, просим уточнений. Эти уточнения обычно дополняют характеристическое правило дополнительными условиями. С новым хар. правилом может получиться множество из 1 элемента.
Я согласен, что множества - "только в голове". Но не уверен, что все, что "в голове" - множества.
Кто там говорил, что "все есть множеcтва"? Кажется, тот самый Кантор и говорил, да? Сильное утверждение, я бы сейчас не рискнул его отстаивать... Я бы сказал, что все, что в голове, и выражено словами, и осмысленно - есть множество (иногда нечеткое множество) конкретно для того, кто смог эти слова осмыслить.
no subject
Date: 2006-05-06 10:36 pm (UTC)Но я это понимаю так: если х - это объект, то {х} - это множество. А объект и множество разные поянтий, и сравнивать их попросту нельзя из-за разной природы. К слову, в формальном определении множества (кстати кажется как раз по Кантеру, но не уверен) есть еще фраза "общей природы".
А вообше мысль здравая...
no subject
Date: 2006-05-07 10:31 am (UTC)no subject
Date: 2006-05-09 01:28 pm (UTC)no subject
Date: 2006-05-09 03:47 pm (UTC)no subject
Date: 2006-05-09 05:31 pm (UTC)no subject
Date: 2006-05-09 01:52 pm (UTC)Представим, что уважаемый Псилоджик — множество атомов, из которых он состоит. Тогда количество элементов в нём card(x) = 10^37, если округлять.
А вот множество, содержащее Псилоджика = {x} содержит ровно один элемент. card{x} = 1.
Это и есть фундаментальное физическое отличие между объектом и множеством, содержащим одного его. Второе содержит ровно один элимент, первое — либо хрензнаетсколько, либо это свойство для него вообще не определено.
В классической теории множеств все исследуемые объекты множества, так что у них это всегда хрензнаетсколько.
no subject
Date: 2006-05-09 03:49 pm (UTC)Красиво, но
Date: 2006-05-10 10:07 am (UTC)"Реальные объекты – не множества, и операция y ∪ z для них просто не определена."
Странное утверждение, ибо разве предмет не совокупность своих частей?
По-моему, можно говорить о том, что операции над объектом есть часть его (объекта) природы, а то или иное рассмотрение объекта сужает набор используемых операций. И только в этом смысле {x} != x.
Re: Красиво, но
Date: 2006-05-10 10:24 am (UTC)предмет обычно можно поделить на части разными способами (пример: человек как множество органов, множество клеток, множество атомов), а множество - нельзя. Поэтому результат операции y ∪ z для предмета будет зависеть от способа разбиения.
По-моему, можно говорить о том, что операции над объектом есть часть его (объекта) природы
Наверное можно.
а то или иное рассмотрение объекта сужает набор используемых операций. И только в этом смысле {x} != x.
Это как эффект абстрагирования, да? Когда мы мысленно рассматриваем объект, то рассматриваем не все его свойства, а только важные нам в данный момент. От остальных же абстрагируемся. Но какие тогда операции отбрасываются в случае x и {x}?
Re: Красиво, но
Date: 2006-05-10 10:40 am (UTC)Да. Я это имел в виду. Лень думать, какие операции отбрасываются,-- сложение для множеств не определено, а объединение для чисел.
P.S.
Date: 2006-05-10 10:35 am (UTC)Re: P.S.
Date: 2006-05-10 12:20 pm (UTC)Re: P.S.
Date: 2006-05-10 01:09 pm (UTC)Но пощупать то можем. x - указывает на ощуп, {x} - на вторичные размышления по поводу ощупа.
Поэтому я предпочитаю считать (если сказать по-программистски) x extends {x}.
Ну можно и так... только тут наследование в общем случае может быть очень витиеватое.
Re: P.S.
Date: 2006-05-10 03:06 pm (UTC)Не бывает мыслей без ощущений и наоборот. Поэтому такое разделение довольно проблематично.
В то же время, вторичные размышления это уже абстрагированное восприятие объекта, они могут дать объекту имя (указатель), а могут, например, описывать тип (класс) объекта. Соответственно, описание различий в представлениях объекта через абстрагирование (наследование) более общо.
Re: P.S.
Date: 2006-05-10 01:08 pm (UTC)Поэтому я предпочитаю считать (если сказать по-программистски) x extends {x}. Если х еще и, допустим, некоторое число x0, то также x extends x0. То есть и x0 и {x} являются объектами соответствующих базовых классов объекта x.
no subject
Date: 2006-05-21 08:50 pm (UTC)А что касается "выхода", то зачем еще один огород городить? Вопрос старый и известный - проблема референта. Вот и смотрим в этом направлении вообще и аналитическую философию в существенной частности. :)
no subject
Date: 2006-05-23 12:23 am (UTC)Словосочетание "река Енисей" предполагает, что река только одна. Если бы Енисеев было несколько, это бы означало, что фраза построена некорректно (нужно уточнить, который Енисей имеется в виду).
{x} - это тот же x, только рассмотренный как множество из одного элемента - то есть, имеющий совсем другие операции. Это примерно, как в программировании массив из одного элемента.=))
no subject
Date: 2006-05-23 07:19 am (UTC)Но можно рассматривать множество клеток данного человека.
> Словосочетание "река Енисей" предполагает, что река только одна.
Я и не говорил, что их десять.
> Это примерно, как в программировании массив из одного элемента.
В программировании физических различий между одним элементом и массивом из 1 элемента может не быть.
no subject
Date: 2006-05-25 01:43 am (UTC)>Но можно рассматривать множество клеток данного человека.
Тогда объединение множеств клеток двух людей - это и будет множество клеток. А объединение людей - это два человека. То есть, эффект целостности никак нельзя не учитывать.
> В программировании физических различий между одним элементом и массивом из 1 элемента может не быть.
В том-то и дело! Физических различий может не быть, а синтаксические различия есть.
Перечитал комменты и понял, что все уже сказано. Действительно, объект x первичен, а множество {x} - это уже результат абстрагирования.
no subject
Date: 2006-05-26 10:21 pm (UTC)Vicious Circles:
http://www.amazon.com/gp/product/1575860082/002-5779340-5983258?v=glance&n=283155
В ней как рассматривается модификация формальной теории множеств без аксиомы фундирования и с возможностью существования "множеств", удовлетвояющих x = { x }.