psilogic | Математика музыки

Один уважаемый френд тут заметил, что система музыкальных обозначений кое в чем нелогичная, странная. Он прав по крайней мере в том, что в музыкальных школах эту систему суют по принципу "as is", грубо говоря: ешь, что дают, не объясняя, почему именно так. Кстати, в учебниках для консерваторий тоже не объясняются многие вещи, смущающие юные (и не очень) умы. :) Особенно, если эти умы имеют технический склад.

Попробую-ка я объяснить эту математику музыки для нас, технарей.

Вопрос 1: Почему нот 7, а не 12?
Казалось бы, в каждой октаве пианино 12 клавиш. Так почему нот всего семь?

В музыке есть такие понятия, как звукоряд, лад, тональность. Между ними имеются тонкие различия, которые дополнительно усугубляются путаницей: разные авторы используют эти термины в разных значениях. Если курс обучения идет по определенной системе, то смысл этим терминам тоже будет придаваться разный. Я попробую описать систему, которая по-технарски строга, хотя, может быть, и не учитывает весь "широкий спектр мнений" аффторов, как это любят гуманитарии. :)

Звукоряд

Человеческое ухо слышит звуки в диапазоне примерно от 20 до 20 тысяч герц. Большинство инструментов не могут извлекать звуки любой частоты из этого диапазона. Спектр возможных частот инструмента обычно накрывает только часть этого диапазона и является дискретным. Исключения очень редки, например, скрипка. Она может выдать любую частоту в некотором диапазоне (примерно 80-2000 герц). А вот, скажем, пианино может выдать столько частот, сколько на нем клавиш, и не более того. Частоту, которая лежит в промежутке между соседними клавишами, на пианино не сыграть никак. Например, нельзя сыграть частоту между "ми" и "фа" первой октавы.

В таком случае возникает вопрос: если у нас число возможных частот ограничено, то какие из них выбрать? Надо выбрать какое-то подмножество частот на отрезке от 20 до 20 тысяч герц. Вот этот набор частот как раз и называется "звукорядом".

Звукоряд - набор частот, которые можно извлечь из этого музыкального инструмента.

В случае скрипки набор ограничивается не технически, а только волей скрипача :)

История знала несколько звукорядов, однако в западной музыке со временем сохранился только один. У него зубодробительное название: "12-ступенный равномерно темперированный строй". Я буду писать сокращенно: РТС-12.

С точки зрения физики РТС-12 очень прост. Его допустимые частоты выражаются формулой:

v = v₀Qⁱ

где v₀ - некоторая константа, равная 440 герц. Соответствует частоте ноты "ля" первой октавы. Почему именно 440 Гц? Да просто нужно выбрать какое-то стандартное начало отсчета, чтобы инструменты не играли вразнобой.

i - целое число, отрицательное или положительное. Прибавление единички к нему дает следующую справа клавишу на клавиатуре пианино. Вычитание - следующую слева.

Q - константа, равная 2^1/12. Из-за числа 12 получается, что каждая октава разбита 12 ступенями на 12 частей. Можно взять другое число, тогда получится другой РТС-строй.

Октава - это диапазон частот от v до 2v.

Лад

В музыке однако не все ступени встречаются одинаково часто. Как правило, в течении некоторого заметного промежутка времени играются только 7 нот из 12 в каждой октаве. Остальные являются, так сказать, "запрещенными".

Это значит, что их при игре избегают.

Если их все-таки играют, то музыка в этом месте принимает эдакий "восточный" оттенок как в индийской музыке (пример: первые ноты мелодии "К Элизе" Бетховена). Если их играют, то играют тише, чем другие ноты, и сравнительно недолго.

Таким образом, из каждых 12 нот выбирается только 7, причем, одна из этих 7 назначается "главной". Главная называется "тоникой". В зависимости от выбора 7 нот и тоники получаются разные лады: гармонический, натуральный, мелодический, дорийский и т.п.

То есть, диапазон человеческого слуха - это непрерывное множество частот от 20 до 20 тысяч.
Звукоряд - это дискретное конечное подмножество того множества.
Лад - это подмножество звукоряда.

Лад - несколько нот звукоряда в каждой октаве, которые считаются более "допустимыми", чем остальные, среди которых выбрана главная (тоника).

В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)

Тональность

Как вы понимаете, выбрать 7 нот из 12 можно по-разному. Соответственно, получается куча разных ладов. В процессе игры бывает, что из одного лада переходят в другой. То есть, несколько секунд у нас были одни 7 разрешенных нот, а потом на несколько секунд разрешенными стали другие 7 нот.

Так вот, некоторые переходы между ладами звучат более естественно, и их сделать легче. Легче и естественнее в том смысле, что есть больше способов перейти от одного лада к другому, и это чаще делается в музыке, и слушатели к таким переходам более привычны.

Группа ладов, между которыми особенно легко делать переходы, называется тональностью. Например, это лады ля-минор натуральный, ля-минор гармонический, ля-минор мелодический. У каждой группы из 3 минорных ладов есть соседняя группа, в которую перейти чуть сложнее, но тоже довольно просто: это параллельная тональность, состоящая из 3 мажорных ладов. В данном случае до-мажор натуральный, до-мажор гармонический, до-мажор мелодический. "Простота" перехода - понятие в какой-то мере субъективное. Например, некоторым авторам кажется, что в параллельную тональность перейти не труднее, чем от натурального минора к гармоническому. Тогда они объединяют обе группы ладов в одну группу из 6 ладов, называя ее "мажороминором".

Всего тональностей 24 штуки по 3 лада или 12 по 6.

Сухой остаток

1. Ухо слышит частоты от 20 до 20 тыс. герц.
2. Большинство инструментов не умеет играть все частоты, а только некоторые. Эти некоторые называют нотами, а множество всех нот - звукорядом.
3. Самый распространенный в западной культуре звукоряд РТС-12 допускает частоты v = 440*2^i/12.
4. Октава - диапазон частот [v, 2v). В РТС-12 на каждую октаву приходится 12 нот.
5. Из 12 нот выбирается 7 самых "предпочтительных", а из этих 7 одна "самая-самая" (тоника). Получается подмножество нот, которое называется ладом.
6. При игре иногда происходит смена лада. Группа ладов, между которыми переходы особенно привычны для слушателя, называется тональностью. Всего таких групп 24 штуки по 3 или 12 по 6.

Анонс
P.S. В следующих постингах - про то, зачем нужны 12 тональностей и нафига сдались диезы с бемолями :)