psilogic | Проект "логика для чайников". Параграф 24.

Измерение истинности: двузначная логика

Первый способ измерения истинности – двузначная логика. Двузначная она потому, что у измерения может быть только один результат из двух: либо “истина”, либо “ложь”. Другими словами, высказывание может быть признано либо истинным, либо ложным.

Обратите внимание на разницу между “истинностью” и “истиной”. “Истинность” – то, что измеряется, “истина” и “ложь” – вывод, который получается в результате измерения. Примерно как “масса” – то, что измеряется, а “массивный” и “невесомый” – вывод, который мы делаем, посмотрев на весы. “Освещенность” – то, что измеряется, “светло” или “темно” – вывод.

Само “измерение” сводится к проверке: можно или нельзя называть определенные вещи определенными именами. В двузначной логике ответ должен быть либо “да, можно”, либо “нет, нельзя”. В первом случае высказывание истинное, во втором – ложное.

Двузначную логику иногда называют “бинарной” или “двоичной”, хотя корректнее “двоичной” называть не логику, а систему счисления.

Начать рассмотрение двузначной логики лучше с отрицательного примера, когда ее применять нельзя – чтобы сразу прочувствовать ее ограниченность. Для двузначной логики не годятся следующие высказывания:

1. Те, что могут быть и истинными, и ложными одновременно.
2. Те, что могут быть не истинными, и не ложными одновременно.
3. Те, что могут быть чем-то промежуточным между истиной и ложью.

Рассмотрим высказывание “эта лошадь черная”, примененное к одной из лошадей, которые есть на свете. Вот тут все три проблемы сразу и вылезут.

1. Бывают лошади, окрашенные частично в черный цвет, а частично – нет. Например, черная лошадь с белыми пятнами на ногах и груди. Можно ли называть эту лошадь черной?

Кто-то скажет: можно ведь у нее есть черные места на шкуре.

Другой решит: нельзя, ведь она не вся черная.

В общем, оба мнения выглядят разумно. Но первое означает, что высказывание истинно, второе – что ложно. Получается, что это высказывание одновременно истинно и ложно, что недопустимо (согласно пункту 1).

2. Я только что покладисто согласился с тем, что “оба мнения выглядят разумно”. Но в жизни мы можем встретить и придир, которые будут отвергать эти мнения:

Ответ “можно” не годится, ведь она не вся черная.

Ответ “нельзя” не годится, ведь кое-где она все-таки черная.

Оба варианта отвергнуты. Получается, что высказывание и не ложно, и не истинно, что недопустимо (согласно пункту 2).

3. Допустим, мы не требуем, чтобы лошадь была черной целиком. Пусть мы согласны называть черной лошадь, у которой есть небольшое количество пятен других цветов.

Возьмем самую черную лошадь на свете. Теперь начнем рисовать на ней небольшие белые пятна – одно, второе, третье... каждый раз задавая себе вопрос: пятен все еще мало? Все еще можно лошадь называть черной? В какой-то момент пятен станет столько, что мы начнем сомневаться: в самом ли деле лошадь еще “черная”? Или уже нет? Остановимся в тот момент, когда наши сомнения достигнут пика.

Теперь вернемся к высказыванию: “эта лошадь черная”. Можно нашу раскрашенную лошадь назвать “черной”? Непонятно. Получилась ситуация, когда мы застряли где-то между “можно” и “нельзя”. Истинность высказывания застряла между “истиной” и “ложью”, что недопустимо (согласно пункту 3).

Рассмотренный пример показывает ситуацию, когда двузначная логика неприменима. На этом же примере можно понять, почему неприменима, и как это исправить.

Основная проблема в том, что у слова “черный” нет четких границ применения для пятнистых вещей. Истина – это когда мы называем вещи своими именами. Но для пятнистых вещей мы не определили четко, когда их можно называть черными. Общепринятого определения в толковом словаре нет. Поэтому, если мы не можем придумать другое определение, двузначная логика неприменима.

Из этого положения есть два выхода. Первый – вообще не рассматривать пятнистых лошадей. Если у меня есть табун, в котором ни одной пятнистой лошади, и я ограничиваю рассуждения только лошадьми из этого табуна, которые есть в нем сейчас, тогда описанная проблема никогда не возникнет, и двузначную логику применять можно.

Второй выход – придумать более четкое определение “черноты” и договориться о нем с собеседником. Например, мы можем условиться, что черными называются только те лошади, у которых 100% поверхности тела имеют черный цвет. При таком раскладе ни одна лошадь не будет черной. Ведь даже у самой черной лошади копыта и белки глаз – нечерные. Можно дать другое определение: что черной называется лошадь, у которой как минимум 90% поверхности тела имеет черный цвет. Это будет больше похоже на обычное употребление слова “черный”. После такого определения двузначная логика становится применимой.

Идеальное определение составить сложно. И к этому тоже можно придраться. Например, спросить: а как именно, чем мы будем измерять площадь черной поверхности? А при каком освещении? А учитывается ли цвет уздечки? И т.д. Придираться можно до бесконечности, но лучше остановиться на том количестве уточнений, которого нам достаточно.

В конечном счете мы договоримся о некой процедуре, которая определяет, когда лошадь можно называть черной, а когда – нельзя.

Для упражнения рекомендую рассмотреть самостоятельно два примера.

Первый – для того, чтобы проиллюстрировать факт: когда устраняется одна неясность, может возникнуть другая. Рассмотрите то же самое высказывание и серую лошадь очень темного оттенка. Такую, чтобы непонятно было, к каким лошадям ее причислять – все еще к серым или уже к черным. Поясните, почему неприменима двузначная логика. Придумайте, как решить эту проблему.

Второй – рассмотрите высказывание “Елена беременна”. Вспомните поговорку о том, что “нельзя быть немножко беременной”. Попробуйте поставить под сомнение эту поговорку. Рассмотрите процесс оплодотворения, и попробуйте выделить момент, когда нельзя с определенностью сказать, уже беременна или еще нет.

В следующей серии: "Измерение истинности: многозначная логика"