Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[akuzmich.livejournal.com]

Чтобы ставить слово "никогда" не следует ли в первоначальное утверждение вставить слово "всегда"?

[alisarin.livejournal.com]

Абстрагирование - это сложный и деликатный процесс, и только логикам-формалистам кажется, что он может быть простым.

То же самое исходное положение может быть только таким:

Между пасмурной погодой и состоянием дождя отсутствует однозначная зависимость.

И никаких парадоксов ...

[rainboy.livejournal.com]

а что ты думаешь про парадокс лужкова? )

[declonter.livejournal.com]

Классно! :)

Правильная форма: ~(A=>B)=>true

[sanitareugen.livejournal.com]

Скучно, но правильно...

[gressus.livejournal.com]

"Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false."

неверно ведь.

левая часть истинна, если ложна (A => B), а (A => B) будет ложно _хоть при одном таком_ A = true, чтобы B = false

вот потеря квантора общности "_хоть при одном таком_" и есть ошибка

Ошибка формализации.

[inkelyad.livejournal.com]

"Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true"

Неверно. У меня сейчас, например, и пасмурно и дождь идет.
~(true=>true) = true. Как же.

В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе.
Полностью оно понимается так:
Неправда, что для любого места и времени если погода пасмурная, то идет дождь.

После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true

x -- переменная из множества интересующих нас мест.

[nefedor.livejournal.com]

"Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда."

Нет, не доказали. Мы нашли всего лишь навсего комбинацию переменных, которая удовлетворяет формуле "высказывание про погоду"=true, делая его тождеством.

[inkelyad.livejournal.com]

Начнем заново.

psilogic пытается показать, что наивная формализация утверждения
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"
приводит к странным результатам.

Вот только весь параграф
"Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда
сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически
всегда стоит пасмурная погода."
все портит: ТАК объясняется истинность при понимании "~∀ x: P(x)".

После этого мы успешно забываем, что мы таки знаем и имеем использовать правильный вариант формализации и работаем с плохим.

Отсюда и парадокс.

[inkelyad.livejournal.com]

Как это будет выглядеть, если так не жульничать:

Мне:
Рассмотрим утверждение:
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Я:
Наивно формализую в виде

A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
высказывание о погоде имеет вид
~(A => B) (1)

Мне:
Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.

Я:
наивно формализую и это тоже.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
бывает пасмурный и не дождливый день
(cуществует x0, что A(x0) и не B(x0)) (2)
(2) истинно из опыта
(существует x0, что A(x0) и не B(x0)) = true

А после этого долго пытаюсь понять, как из (2) вывести (1)

Мне:
Высказывание (1) истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true

Я:
Минуточку, у меня есть (2) = true, но так до сих пор и не вышло (2)=>(1).

разгадка

[falcao.livejournal.com]

Для меня здесь разгадка проста. Известно, что в обиходной речи имеется масса "умолчаний" (то есть чего-то, подразумеваемого "по умолчанию"). Также понятно, что некоторые слова опускаются, и обычно их легко бывает восстановить. В данном случае в процитированной Вами фразе я "слышу" модальность:

"Неправда, что если погода пасмурная, то (обязательно) идет дождь"

То есть это, строго говоря, просто не импликация.

При формализации мы привыкли игнорировать модальности, заменяя их, когда возможно, кванторами. Пусть S -- ситуация, о которой мы говорим (я когда-то обосновывал мысль, что истинностный статус возникает только в пределах ситуаций). Тогда по смыслу мы получаем вот что:

"Неправда, что во всех ситуациях выполнено условие: если погода пасмурная, то идёт дождь".

То есть на языке формул будет так:

~((\forall S)(A(S)=>B(S)))

Это логически эквивалентно вот чему:

(\exist S)(~(A(S)=>B(S)))

Что несомненно, так как ситуации, в которых погода пасмурна, а дождя нет, бывают. Что, собственно, и подразумевалось.

Поэтому "виной" всему я вижу устранение модальности при формализации, что привело к удалению квантора всеобщности. При этом в отрицании всеобщего высказывания исчезает подразумеваемый квантор существования, без которого высказывание становится всеобщим. Что, конечно же, не так.

[twilight-sun.livejournal.com]

ну тут на самом деле обычная путаница: при переводе на формальную логику теряется часть смысла.
В данном случае смысл "пасмурная погода не всегда сопровождается дождем" требует для правильной формализации нужных кванторов, т.к. "погода пасмурная" и "идет дождь" по смыслу предикаты, т.е. функции места/времени. А при отрицании квантор всеобщности превратится в квантор существование и будет доказано не "погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда", а боле логичное утверждение "существую ситуации когда погода пасмурная, дождь не идёт". Ну собственно это в большинстве коментов и описано.


А в чём собственно парадокс тогда?

Напоминает как один политолог спрашивал согласны ли мы с утверждением что "цель оправдывает средства" с таким видом вроде это вопрос на который мы скажем "да/нет" ...