Аксиомы и определения

По ходу одного разговора, помянули аксиомы и определения. Дескать, одно и то же это или не одно, или вообще пофиг. Я пообещал собеседнику объяснить это кратко. Делаю в виде поста, чтобы френды могли попридираться, поуточнять или попинать меня, если возникнет желание ;)

____

Аксиома - это утверждение (высказывание), которое принимается без доказательства.

Важное уточнение: принятие без доказательства не означает, что доказательства нет. Просто его по каким-то причинам не нужно делать в этом конкретном случае.

Важное дополнение: в математике обычно аксиома оказывается частью какой-то логической системы. Тогда аксиома может быть доказана вне этой системы - скажем, в рамках более общей систем или вообще экспериментально.

Частный случай: два человека о чем-то спорят, но какое-то мнение, утверждение у них обоих не вызывает сомнений. Скажем, спорят о том, хороший ли президент был Ельцин, но оба согласны по крайней мере в том, что он был президентом. Это последнее они не доказывают и не собираются доказывать. Это - пример аксиомы в обиходе.

Определение - это инструкция, которая объясняет, что означает данный термин (слово, или оборот речи). Часто имеет форму: "X - это Y" или "X называют Y".

Утверждение (высказывание) ли это? В смысле, есть ли у него истинность? Чисто формально - да, есть. Определение утверждает, что некоторое слово имеет некоторый смысл. Это может быть неправдой? Да. Например, некто утверждает, что квадратом называется равносторонний четырехугольник. А другой поправляет: не четырехугольник, а прямоугольник. В чем именно неправда? В "называют". Математики называют словом квадрат не то, в этом неправда. То есть, такое определение утверждает, что люди употребляют слово в таком смысле... и это может оказаться правдой или неправдой. Люди могут и не употреблять слово в таком смысле.

Другой пример. Автор пишет в своей книге: "квадратом буду называть равносторонний четырехугольник". Это - уже другой коленкор. Тут он отвечает только за себя лично. Он будет называть. Это тоже может оказаться неправдой, если вдруг он дальше в своей книге обзовет квадратом фигуру с тремя углами.

Таким образом, определение и аксиома - вещи достаточно разные.

Может ли определение быть аксиомой? Да. Это когда истинность определения принимается без доказательства. Такое случается довольно часто: один собеседник предлагает свое определение, а второй принимает его без лишних разговоров: мол, хорошо, давайте условимся так считать. В результате договоренности получается аксиома: "мы оба считаем, что это слово означает... вот это". Но согласие возникает не всегда, и тогда из определения аксиома не получается.

Еще есть некоторое различие в акцентах. Главное в аксиоме - истинность. В определении истинность часто - всего лишь вопрос соглашения, договоренности. А главное в определении - это инструкция, что как называть.

Вот такое получилось занудное пояснение :)

Глупый вопрос

Зверски туплю, но вдруг кто помнит:
- почему в формуле дисперсии сумму делят то на N, то на N - 1 и как правильнее?

Научность?

У меня с одним моим френдом возник спор по поводу критериев научности. Раньше я очень жестко настаивал на "образцовости" физики и того стиля, который использует физика. Гуманитариев я считал кем-то вроде людей второго сорта. :)

Поучившись психологии, я, понял, что не все так просто.

Я продолжаю по привычке подкалывать гуманитариев. У меня сохраняется впечатление, что дураков среди гуманитариев все же больше. Но именно вот так мягко: больше и меньше, а не жестко: все физики - умные, все лирики - дураки. Это связано с тем, что программу технического ВУЗа преодолеть труднее: фильтр жестче. А жесткий фильтр связан с тем, что в технических специальностях меньше простора для субъективности, а субъективность в свою очередь дает простор для злоупотреблений, взяточничества и т.п. нарушений в работе фильтров. Но фильтры не абсолютно хороши или плохи, они всего лишь жестче и мягче.

Я вижу, что среди гуманитариев есть и умные люди, и их много, и они делают полезное дело. Да, там много теплых мест для дармоедов и много простора для ненужной философии. Но даже немногие умницы ухитряются делать полезное дело, очень даже ненулевое.

А еще я столкнулся с Тигром falcao, который, можно сказать, открыл мне глаза на объективную природу математики. Поэтому, если раньше я говорил, что математика - это не наука, но часть науки, теперь я склонен ее считать наукой вполне полноценной. Это наука, которая продуцирует особо надежные модели для разных отраслей.

Теперь я бы предложил несколько иные критерии научности. Хотя, если сравнить с прежним моим мнением, можно сказать, что я просто сместил акценты. Да, возможно. Я предлагаю критерии научности, которые равно хорошо вбирают в себя и естественные науки, и гуманитарные, и математику, но оставляют за бортом шарлатанство типа астрологии, философии и т.п.

Это взято прямо сейчас "из головы", в сыром виде. Так что я особо не претендую... ожидаю контрпримеры, которые могут потребовать внести изменения, или прямо изменения.

1. Есть знания
1.1. более простые
1.2. более сложные (в использовании и освоении)

2. Есть знания
2.1. более полезные
2.2. менее полезные (включая самые разные виды пользы)
3. Есть знания

3.1. более надежные
3.2. менее надежные
По последнему пункту пояснение: имея дело с более надежными знаниями, два человека имеют больше шансов прийти к одинаковому выводу, даже имея сильно разные взгляды на вопрос.

Так вот, в науке в первую очередь смотрят на критерии в обратном порядке

Критерий 3. Если бесполезно - это не наука.

Частный случай: нефальсифицируемые теории, построенные по схеме модель-эксперимент, бесполезны. Но только те, что сделаны по этой схеме. Математика, география используют другие схемы, соответственно, к ним критерий фальсификации неприменим.

Критерий 2. Если есть две теории, полезные для одной цели, но одна из них надежнее, то именно она считается более правильной, а использование второй считается ненаучным шагом.

Критерий 1. Если есть две полезные и в равной мере надежные теории, то берется более простая (бритва Оккама).

Вот, собсно, и все. Любое знание, которое построено на других приоритетах - не наука. Скажем, в теологии главный приоритет - вера. Поэтому теология - не наука.