![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicПопытался составить список мифов, которые чаще всего употребляются со ссылкой на логику. Мифы прочные, так что я не надеюсь, что приверженцы прямо сразу осознают и покаются. :) Но пущай хоть задумаются. Или меня попинают, вдруг я сам где-то гоню. Для начала вот вам пачка из трех мифов:
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
тигриные ремарки (1)
Date: 2009-03-07 12:54 pm (UTC)Про пункт 1 я говорить не буду. При том толковании, из которого Вы исходите, всё верно. Однако мне кажется, что сам принцип, если его чуть-чуть по-другому трактовать, вполне правомерен. Вот смотрите. Допустим, некто меня уверяет, что у него в доме живёт "барабашка" :) Я скромно замечаю, что я в такую чушь не верю. На что мой оппонент заявляет: а ты можешь доказать, что барабашка не существует? Понятно, что в этой ситуации, как правило, и ссылаются на что-то вроде того, что доказывать такие вещи нет никакого смысла.
Про пункт 2 нами уже говорено-переговорено. Та система аксиом, которую Вы рассматриваете, является искусственной. Она нужна для того, чтобы условное рассуждение можно было трактовать как некое другое, "безусловное". При этом доказательство становится возможным изложить как набор безусловно верных утверждений. Но это требование совершенно не обязательно. Сейчас всё более входит в моду понятие "естественного доказательства". Мы очень часто говорим в рассуждениях: пусть выполняется то-то и то-то. И далее какое-то время рассуждаем при этом дополнительном условии. Всё, что высказывается в пределах этой части рассуждения, считается доказанным условно. А именно, если мы приняли условие A, и в процессе рассуждений вывели из него положения B, C, ..., D, то в принципе можно было считать, что мы некие утверждения доказали безусловно, а именно, импликации A->B, A->C, ..., A->D. Оформление доказательства в таком виде ведёт к удлинению его записи. Это примерно как если бы мы вместо обращения к подпрограмме каждый раз выписывали весь её текст (возможно, с переименованием части идентификаторов).
Для чего нужна при таком подходе схема аксиом X->(Y->X)? Для того, чтобы внутри условного рассуждения (начинающегося словами "пусть выполнено Y") мы имели возможность использовать ранее доказанные утверждения, установленные ещё до принятия предположения. Понятно, что пользоваться ими можно всегда. Но для того, чтобы рассуждение можно было переоформить, мы интерпретируем момент использования доказанного ранее предложения X в виде импликации Y->X.
Ваш пример с "пяткой" подразумевает причинно-следственную трактовку импликации. В то время как её надо понимать "ситуационно" -- я об этом уже когда-то писал. Если говорится A->B, то понимать это надо вот как: в любой ситуации, в которой A имеет место, будет иметь место также и B. Поэтому не получается того "странного" заключения, к которому приходит "персонаж" из Вашего примера. Получаетсяя всего лишь тот бесспорный факт, что теорема Пифагора, коль скоро она в принципе верна, верна в том числе и в ситуации, когда у меня чешется левая пятка :)
Далее, я плохо понимаю, почему Вы говорите именно об этой технической аксиоме, когда заводите речь о принципе "из противоречия выводимо любое утверждение". Тут же совсем другое обоснование. Если у нас имеется противоречие, то из него выводится какое угодно утверждение B при помощи рассуждения "от противного". Предполагаем, что выполнено условие "не-B", далее указываем на то, что у нас имеет место противоречие. Как оно получено, что на это повлияло -- это не важно. Мы имеем право на основании этого отвергнуть наше предположение и считать B доказанным.
Неувязка со здравым смыслом тут возникает, мне кажется, по другой причине. Вот Вы говорите о практике, но на практике не может возникнуть ситуация A & не-A. Такое может быть только при подмене смысла утверждений, то есть нарушения того, что называется "законом тождества". Противоречие может возникнуть в процессе анализа какого-то варианта. Вот Вы решаете головоломку, и у Вас есть два варианта: в синем доме может жить или немец, или швед. Вы анализируете случай немца, и приходите к выводу, что тогда англичанин должен выращивать кактусы. А про него уже известно, что он выращивает гладиолусы. Возникает противоречие. То есть мы для себя понимаем, что рассматриваемая ситуация невозможна. Это означает, что её нет смысла далее "препарировать". Хотя выводы делать можно, причём любые. Это не ошибка, а всего-навсего лишняя деятельность. Признание того, что некая деятельность является лишней, не означает ведь, что неверен какой-то принцип логики.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!