О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

[nekroz.livejournal.com]

ок, меня вполне устраивает, даже несмотря на то, что скепсис довольно ангажирован

[psilogic.livejournal.com]

[ вполне прослеживаемая приемственность ]

Э, так не пойдет, не бойтесь конкретики, пожалуйста - что-нибудь типа квадратного корня.

[ речь шла о нужности для науки в целом, а не математики для физики ]

Вот и попробуйте нужность философии дла какой-нибудь науки, желательно - из тех, насчет которых нет сомнений, что это именно наука (с астрологией и теологией будут проблемы, ага).

[ должна быть ясность понятий, я понимаю под философией то, что ей общепризнано считается ]

Ну так мое определение не с потолка взято.
Общепризнано считается - чего только не считается.
Например, частое определение философии как науки, изучающей "наиболее общие" закономерности, разобрано вот в этом параграфе:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/anti.htm#4

Читайте остальные пункты, и поймете, что мое определение не из пальца высосано.

[psilogic.livejournal.com]

Кстати, по ссылке есть и про физику аристотеля ;)

[the-kot.livejournal.com]

А про присутствие я ни словом не обмолвился. Оно нас не интересует. А вот изменения количеств таки есть, и их наличие не зависит ни от наблюдателя, ни от его идей, ни от его мыслительной активности. Пример? Из простейших - химия. Химические процессы идут, и с их ходом меняются количества атомов в молекулах. Наблюдать это мы смогли только недавно, но происходило это несколько раньше, чем было обнаружено. Было в молекуле четыре атома, стало семь. Голая математика, арифметика даже. И человеческие идеи с мыслями к ней как-то не прилепить, она и без человека неплохо работает.
К чему это я? К тому, что если к двум прибавить три, то получится пять вне зависимости от наличия или отсутствия человека в процессе.

[nekroz.livejournal.com]

давайте сперва с общепризнанностью, потом с остальным
существует некое конечное множество предметов (в данном случае работ), которые общепризнано относят к философии, в частности, Платон, по поводу значимости которого вопросов у вас вроде как нет
если мы возьмем все эти работы, и попробуем вычленить у них общие черты, получим некоторое определение
про бесполезность и "псевдомудрствование" нам уже на платоне с аристотелем придется споткнуться
да, существуют работы глупые, бесполезные, но ведь и работа, очевидным образом физическая, может быть глупой и бесполезной
то есть обьединяет здесь не польза, не значимость, а тематика
есть физическая, а есть философская
философские работы обьединяет тематика "преднаучности", то есть попытка описать и сформулировать понятийный аппарат, понятийное пространство для будущей науки
до 19 века работы по философии в основном занимаются естественными науками, а после начинают переходить к гуманитарным, взять тот же структурализм
этим требованиям отвечают все успешные работы по философии, а из известных таковых (успешных) большинство

теперь можно перейти к конкретике
начну с Пифагора
это еще не философия в "традиционном" виде, слишком много мистики, но все равно имеет значение, для отслеживания преемственности
так вот Пифагор занимался понятием числа и ответом на вопрос, как так получается, что вроде бы понятие числа очевидным образом умозрительное, и в мире ему соотвествий нет, но тем не менее продуцируемые из математики истины, а она до определенного момента вся сводится к ряду натуральных чисел, абсолютно верны
ответ у него был примитивный - это все потому, что понятие числа существует на самом деле, объективно, в отрыве от человека и вообще совершенно
когда они обнаружили иррациональные числа, это настолько их шокировало, потому как подрывало веру в идеальность числа, что Гиппаса, а он то ли доказал иррациональность, то ли, по другим источникам вынес доказательство из общины на публику, так вот Гиппаса якобы скинули с корабля за это
это к вопросу о том, насколько люди раньше упрощенней воспринимали реальность

Платон идею пифагорейцев развил и ввел "понятийность" повсюду
если есть идея числа, должна быть идея всего - стола, человека и так далее
физика Аристотеля и его прочие философские (а физика на тот момент - все еще часть философии) взгляды родились в полемике с платоновским идеализмом

пропустим пару остановок, сразу к Бэкону
Бэкон развивал идеи Аристотеля о том, что такое наука и как она должна выглядеть
доказательств тьма, даже его основная книга называется "Новый органон", в дополнение к "старому", аристотелевскому

Ньютон разделял идеи Бэкона, что он с их помощью изобрел, обьяснять не надо
к слову, ближе к концу жизни Ньютон был довольно расстроен своей механикой, потому как она входила в противоречие с его философскими взглядами, его не удовлетворял "мистический" характер понятия "сила"
ну, собственно Эйнштейн от него и избавился, за ненужностью
сам Эйнштейн написал немало работ об методологии науки, в которых полемизировал с позитивистами
кстати, его "физический" спор с Махом имел философские причины, там была полемика не вокруг самой теории, а вокруг методологии, Мах был инструменталистом (и снова пример философии в физике), а Эйнштейн - нет (инструментализм - идея о том, что модели и теории не обязаны иметь физический смысл, то есть модель говорит, что есть электрон, но это лишь условность, а в реальности мы понятия не имеем, есть ли электрон)

ну и вот я вполне дошел от Пифагора к Эйнштейну, что и требовалось

про инструментализм еще дополнение
можно было бы сказать, что вот оно! - инструментализм мешал физикам, философия вредна, но увы, антиинструментализм - это тоже философское убеждение, то бишь есть вредные, есть полезные
как и теории в физике бывали вредны

[nekroz.livejournal.com]

цитируйте, не стесняйтесь
я помню прекрасную беседу с вами, в которой выяснилось, что это трактат по физике, а не по философии, поскольку называется "физика"
если по ссылке именно эта мысль, можете не цитировать, потому как абсурдный был аргумент

[nekroz.livejournal.com]

но я не совсем понимаю вот чего
вроде бы по платону возражений нет, спор можно смело переводить в русло вопроса "есть ли сегодня фигуры, аналогичные платону по роду деятельности" и пофиг, каким термином их называть
и я ответ дал - есть, именуются структуралистами, оказали влияние на математику, лингвистику, антропологию
возражений не увидел
а "болтунов" называйте хоть снусмумриками

[psilogic.livejournal.com]

[ К тому, что если к двум прибавить три, то получится пять вне зависимости от наличия или отсутствия человека в процессе. ]

А кто прибавлять будет? :)

[nekroz.livejournal.com]

самим математикам (почему-то, я не понимаю) не свойственно понимать математику знанием миробразующего уровня

это зависит от периода
там было несколько "революций" во взглядах
Гедель с теоремой о неполноте, теория множеств, может что-то еще есть, но я забыл

[psilogic.livejournal.com]

Вот, например, фрагмент из Аристотеля:

"Ведь даже если сила одного тела сколько-нибудь уступает [силе] другого, [однако] если, например, огонь ограничен, а воздух бесконечен, то пусть равное [количество] огня превышает по силе равное [количество] воздуха во сколько угодно раз, лишь бы это выражалось каким-нибудь числом, все же ясно, что бесконечное одолеет и уничтожит конечное. А быть бесконечным каждому [элементу] невозможно, так как тело есть то, что имеет протяжение во все стороны, бесконечное же есть безгранично протяженное; следовательно, бесконечное тело будет простираться во всех направлениях безгранично."

Если это не похоже на физику (с поправкой на древность), то я не знаю, что тогда похоже на физику.

[the-kot.livejournal.com]

Хитрая наука физика. И даже не сама наука, а то, что она изучает. Окружающая реальность, короче говоря.

[psilogic.livejournal.com]

То, что она изучает, прибавляет? Не думаю.

Вот пример. Есть физика Ньютона и есть Эйнштейна. Обе они годны для описания механического движения, но дают разную точность. Но в одной физике придется умножить, а в другой - еще поделить, извлечь корень и т.п.

Т.е. окружающая реальность может описываться разными формулами.

[the-kot.livejournal.com]

И что это меняет? Нас не интересует, чем оно описывается, потому как описание - это уже идеи и иже с ними. Нас интересует "сам процесс"(С). Умножение, возведение в степень - это уже упрощения сложения очень больших количеств.

[nekroz.livejournal.com]

если это не похоже на философию, то я не знаю, что тогда похоже на философию

если серьезно, сравните с трактатами Ньютона, увидите разницу
"огонь ограничен, а воздух бесконечен" - это что, не философия?

и да, именно это общепризнано является философией (с поправкой на древность)
а речи сократа о любви вы бы признали за психологический трактат, да? но психологии тогда не было, да и сейчас не то, чтобы очень есть, как наука, приходится считать это философией


я бы даже предложил более изящное определение - философия - это наука с поправкой на "древность", просто для физики древность - это античная греция, а для структуральной лингвистики - 30-е годы 20-го века

[psilogic.livejournal.com]

"огонь ограничен, а воздух бесконечен" - это что, не философия?

[ пусть равное [количество] огня превышает по силе равное [количество] воздуха ] - это что, не физика?

Нет, наука не происходит от философии никак. Наука развивалась параллельно, а философия жила, не развиваясь параллельно. Контакты были - но на том же уровне, как с религией или поэзией.

[psilogic.livejournal.com]

Цитирую:

Философия – как вспомогательная наука?

Математика разработала очень много приемов, которые используются в точных науках и технических профессиях. Сейчас трудно представить себе физика или инженера, который совсем не использует математику в работе. В таком качестве математика присутствует в разных науках. Получается, что одна наука помогает многим другим.

Можно ли отнести философию к такому же типу наук?

Для этого надо доказать, что какие-то другие науки в самом деле не могут жить без философии или жить могут, но хуже.

Этот вопрос я исследовал, используя все ту же методику: заявлял перед апологетами философии, что она бесполезна для науки совсем, ожидая, что такое категоричное обобщение будет опровергнуто хорошими примерами. Увы, примеров не было, или же оказывались из области нормальной науки, а вовсе не философии.

Я собирался специально обсуждать здесь эту тему, но недавно мой друг показал мне замечательную книгу Стивена Вайнберга "Мечты об окончательной теории". Она есть в электронном виде в Сети. Судя по всему, автор прошел через то же, что и я: он увлекся философией в университете и имел возможность сопоставить ее с математикой и физикой. Сопоставление оказалось не в пользу философии, и кое в чем автор выражается еще категоричнее, чем я.

Так вот в этой книге в главе VII "Против философии" автор разложил по полочкам вопрос о полезности философии для науки, привел большое количество примеров. Особенно забавен случай с Эйнштейном, который сначала хвалил философа Маха, а потом горько разочаровался в его философии.

Я готов подписаться практически под каждым словом автора, поэтому просто воспроизведу некоторые наиболее хлесткие высказывания:

"Точно так же взгляды философов иногда приносили пользу физикам, но главным образом в негативном смысле, защищая их от предубеждений других философов."

И чуть дальше:

"Не я один разделяю такие взгляды - мне не известен ни один ученый, сделавший заметный вклад в развитие физики в послевоенный период, работе которого существенно помогли бы труды философов. В предыдущей главе я упоминал о том, что Вигнер назвал "непостижимой эффективностью" математики. Здесь я хочу указать на другое в равной степени удивительное явление - непостижимую неэффективность философии. Даже если в прошлом философские доктрины и оказывали какое-то полезное воздействие на ученых, влияние этих доктрин затягивалось на слишком долгое время, принося в конце концов тем больше проблем, чем дольше эти доктрины оставались в употреблении".

Таким образом вопрос о полезности философии для науки я считаю закрытым, сомневающихся отсылаю читать Вайнберга.

А вот о том, как и почему получается, что философские доктрины вредят, и как можно постигнуть эту самую непостижимую неэффективность философии – как раз этим вопросам и посвящено мое собственное повествование.

[psilogic.livejournal.com]

По Платону возражения есть, но они были вами проигнорированы.

Попробую сказать насчет Платона еще другими словами, может, так будет понятнее.

Платон является философом в самом старинном смысле слова - он просто мудрый человек. При этом он не ученый, не физик, не психолог, даже на логика не тянет. Где-то он был прав, где-то над его воззрениями можно посмеяться, где-то воспринять как личную точку зрения. Он просто умный человек, который писал некие эссе о жизни - точно так же, как многие умные люди сейчас пишут что-то в ЖЖ или в художественной литературе. При этом он был явно враждебен софистам, для которых современные философы являются "фигурами, аналогичными по роду деятельности".

[psilogic.livejournal.com]

[ И что это меняет? ]

То, что там, где в одной теории сложение, в другой теории может быть умножение. А в природе - одно и то же.

[nekroz.livejournal.com]

аристотель не называл себя физиком
он считался и считал себя философом
и, хочется вам того, или нет, для большинства людей именно его работы являются эталонным примером философии
то есть можно, конечно, задать любое определение, какое вам вздумается, назвать это наукой, говном или крякозябрами, но общепринято считать эти философией
впрочем, даже с вашим подходом переизобретать определения можно найти точку опоры
аристотель молодец? ок, мне пофиг считаете ли вы его философом, но он молодец, пляшем от этого
сегодня, если я вас правильно понимаю, аналогов аристотелю, то есть людей, которые бы занимались примерно тем же, нет, так?
ну вот я уже упомянул структурализм, я и еще кое-что вспомнил (кстати про стуктурализм ответа так и не было, где же он?)
так вот, я надеюсь, что вы не будете спорить с тем, что физика (химия, любая другая наука) это вполне конкретное занятие, а не то, чем вообще занимается физик (химик, и т.д.)
физик может и не заниматься физикой
ну то есть не все, что он делает - физика
так вот в науке существуют школы, не те, что учебные заведения, а те, что преемственность
в физике, в психологии, в искусствоведении, много где
школа Бора, школа Ландау
и в школах тиражируется не столько наука, сколько определенный подход к ней, некоторые устойчивые концепции
Бор тиражирует свои взгляды, Вельфлин свои
некоторые из таких концепций (аналоги легко найти у Платона с Аристотелем) выходят за рамки одной науки, как то:
позитивизм
инструментализм
эволюционизм
структурализм
допустим, это не философия, ок, философия - это только лишь болтовня, речь не об этом
эти концеции, установки, принципы, их создание, разработка и тиражирование - аналогичны тому, чем занимались Аристотель с Платоном?
когда физик берет на вооружение концепцию естественного отбора и пытается обьяснить физику звезд с точки зрения эволюции систем, обьяснить, почему они такие, как есть, он занимается примерно тем же, чем и они?

[the-kot.livejournal.com]

Умножение сводится к сложению в конечном итоге.

[psilogic.livejournal.com]

Ну и что?

[nekroz.livejournal.com]

хочу про структуралистов услышать
"спой, птичка, не стыдись"
не могу же я вас 10 комментов кряду упрашивать это сделать


кстати, не просто "мудрый человек", а человек, пытавшийся обьяснить окружавший его мир, обьяснить логично, последовательно, непротиворечиво
и создать свою "теорию"
ну или развить чужие, неважно
или вы не в курсе, что у него тоже была своя "физика"?

[the-kot.livejournal.com]

Это всё ещё ничего не меняет. Формулы выполняются вне зависимости от наблюдателя.

[psilogic.livejournal.com]

[ хочу про структуралистов услышать ]

Я не знаю, кто такие структуралисты, и как они могут помочь в психологии. Если вы объясните мне толком, что такое структурализм, я, наверное, смогу понять, можно ли их где-нибудь к психологии привязать.

[ кстати, не просто "мудрый человек", а человек, пытавшийся обьяснить окружавший его мир, обьяснить логично, последовательно, непротиворечиво и создать свою "теорию" ]

Например, в какой конкретно работе?

[psilogic.livejournal.com]

Формулы вообще разные. Они выполняются только когда есть наблюдатель и наблюдатель решает, какую из них применять.