О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

[nekroz.livejournal.com]

но я не совсем понимаю вот чего
вроде бы по платону возражений нет, спор можно смело переводить в русло вопроса "есть ли сегодня фигуры, аналогичные платону по роду деятельности" и пофиг, каким термином их называть
и я ответ дал - есть, именуются структуралистами, оказали влияние на математику, лингвистику, антропологию
возражений не увидел
а "болтунов" называйте хоть снусмумриками

[psilogic.livejournal.com]

По Платону возражения есть, но они были вами проигнорированы.

Попробую сказать насчет Платона еще другими словами, может, так будет понятнее.

Платон является философом в самом старинном смысле слова - он просто мудрый человек. При этом он не ученый, не физик, не психолог, даже на логика не тянет. Где-то он был прав, где-то над его воззрениями можно посмеяться, где-то воспринять как личную точку зрения. Он просто умный человек, который писал некие эссе о жизни - точно так же, как многие умные люди сейчас пишут что-то в ЖЖ или в художественной литературе. При этом он был явно враждебен софистам, для которых современные философы являются "фигурами, аналогичными по роду деятельности".

[nekroz.livejournal.com]

хочу про структуралистов услышать
"спой, птичка, не стыдись"
не могу же я вас 10 комментов кряду упрашивать это сделать


кстати, не просто "мудрый человек", а человек, пытавшийся обьяснить окружавший его мир, обьяснить логично, последовательно, непротиворечиво
и создать свою "теорию"
ну или развить чужие, неважно
или вы не в курсе, что у него тоже была своя "физика"?

[psilogic.livejournal.com]

[ хочу про структуралистов услышать ]

Я не знаю, кто такие структуралисты, и как они могут помочь в психологии. Если вы объясните мне толком, что такое структурализм, я, наверное, смогу понять, можно ли их где-нибудь к психологии привязать.

[ кстати, не просто "мудрый человек", а человек, пытавшийся обьяснить окружавший его мир, обьяснить логично, последовательно, непротиворечиво и создать свою "теорию" ]

Например, в какой конкретно работе?

[nekroz.livejournal.com]

но погодите, как же так, не знаете, но это точно не то, что принято считать философией
вот знаете, если бы я решил утверждать, что X не существует, а мне бы сказали - так вот же он, я бы не поленился посмотреть, о чем речь - вдруг это и вправду он
а вы, получается, с радостью читаете книги, убеждающие вас в собственной правоте и не желаете узнавать ничего, что может вас в ней поколебать? фу, как некрасиво


о Платоне - Тимей
тамошние рассуждения по уровню асбтракции не далеко ушли от Аристотеля и его "конечного огня"


"пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует
обитель всему роду, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто всякому бытию непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует."
вполне себе "физически" звучит, не?

Нам необходимо рассмотреть, какова была сама природа огня, воды, воздуха и земли до рождения неба и каково было их тогдашнее состояние.

а вот от этого вообще один шаг до большого взрыва, гы

(раньше, кстати, не читал этого, сам удивляюсь, что все настолько подходит к нашей беседе)

[psilogic.livejournal.com]

[ но это точно не то, что принято считать философией ]

Вы о чем тут говорите? Что "это" "не то"?

[ вполне себе "физически" звучит, не? ]

Еще менее "физически", чем у Аристотеля. Приведенный фрагмент, который автор приписывает Тимею, уже за гранью пустопорожней болтовни, увы - мудростью здесь и не пахнет, класический случай того, что я отношу к философии в современном смысле.

Хотя в других сочинениях или в других местах герои Платона вполне разумны - например, Сократ или Теэтет обычно философского бреда себе не позволяют.

[nekroz.livejournal.com]

я о структурализме
вы про него впервые слышите, но уверены

философская болтовня? да перед нами тут (с поправкой на древность) вполне новаторские идеи о том, что для каких-либо рассуждений необходимо аксиоматически допустить существование пространства
вы опять забываете, что это 3 век до нашей эры, там это прорыв, как же так, ведь мир же вечен и неизменен, а тут нам этот платон пытается проэкстраполировать время до начала времен и предположить, как тогда мог выглядеть мир
один лишь масштаб постановки задач впечатляет
это примерно как если бы ваш сын лет 5-ти подошел к вам и начал про сингулярность расспрашивать

Еще менее "физически", чем у Аристотеля. - так погодите, Аристотель физика с поправкой на древность или философская болтовня?
и кстати, чем занимаются персонажи Платона, когда не занимаются философской болтовней?

[psilogic.livejournal.com]

[ я о структурализме
вы про него впервые слышите, но уверены ]

Уверен на своем прежнем опыте с другими философскими концепциями. Естественно, у меня нет желания изучать еще одну просто потому, "что в Вики сказано". Философия большая, такого рода хвастливые заявления в ней на каждом шагу, сплошная проверка невозможна из-за многочисленности таких заявлений, а выборочная проверка до сих пор показывала каждый раз, что это хвастовство. Чтобы я начал тщательнее проверять конкретно этот случай, надо не просто заявление, а хоть какие-то признаки того, что там есть смысл копнуть. Но вы сами не знаете, о чем там.

[ да перед нами тут (с поправкой на древность) вполне новаторские идеи о том, что для каких-либо рассуждений необходимо аксиоматически допустить существование пространства ]

Новаторские, да-а-а? :)))

[ вы опять забываете, что это 3 век до нашей эры, там это прорыв ]

Прорыв - это, например, формальная логика Аристотеля или измерение диаметра земного шара Эратосфеном. А это - так, набор слов, на обычном для философов уровне, который мы видим в этом тексте и еще тысячу лет спустя, и еще тысячу лет потом.

[ Еще менее "физически", чем у Аристотеля. - так погодите, Аристотель физика с поправкой на древность или философская болтовня? ]

У Аристотеля - на грани философской болтовни, у Тимея - далеко за гранью. Из эллинов нормальная физика - у Архимеда, там где про рычаги и закон Архимеда. У Аристотеля нормальная логика силлогизмов и (с некоторыми оговорками) модальная логика.

[nekroz.livejournal.com]

разница между школой бора и школой ландау практически
вот я всегда неуверен и ищу опровержений, а вы "уверены в своем прежнем опыте"

я знаю, о чем в структурализме, правда с другой стороны, поскольку знакомился с ним по профилю постмодерна, а не лингвистики
структуральная лингвистика была в некотором роде ответом на вызов постмодернистов, что дескать язык в принципе не логичен, это всякий раз хаотичное пространство смыслов с отсутствием структуры, поэтому отсутствует сама возможность понимания языка А в рамках языка Б, если отсутствует некая экспериментально подобранная таблица соответствий
структуралисты в лингвистике утверждали, что у языка существует устойчивая анализируемая структура, которая поддается "расшифровке" и без наличия таблицы
собственно, структурализм в математике - это попытка осмыслить математику, как язык, со свойственной ему структурой, в антропологии подход был распространен на культуру в целом
да, это поверхностные знания, но они есть и я не поленился их приобрести
более того, я более или менее ознакомлен с почти всей историей науки, так что готов получать из нее примеры "бесполезности философии" и дальше
и ликвидировать пробелы, потому как считаю историю мысли полезной

Новаторские, да-а-а? :)))

после этого хорошо бы опровержений

да вообще все, что угодно можно назвать набором слов
была бы уверенность в собственном опыте

кстати, так где же ответ на вопрос о том, чем занимается сократ, когда не занимается философской болтовней?

[psilogic.livejournal.com]

[ структуралисты в лингвистике утверждали, что у языка существует устойчивая анализируемая структура, которая поддается "расшифровке" и без наличия таблицы ]

"Устойчивая анализируемая структура" - так можно назвать любые закономерности в языке. Это ваше утверждение звучит так, будто до них никто не догадывался, что в языках есть части речи, согласования, склонения и прочие закономерности.

[ после этого хорошо бы опровержений ]

В той вашей фразе над каждым вторым словом издеваться можно, а во фразе Тимея - над каждым четвертым :)

[ кстати, так где же ответ на вопрос о том, чем занимается сократ, когда не занимается философской болтовней? ]

Спит в голове Платона? :)