О природе математических идей и формул

[psilogic]

Мой камрад falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).


Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Comments

[psilogic.livejournal.com]

Есть стабильные, есть нестабильные, среди них отбираются те, что стабильные.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

А почему стабильные - стабильны. Откуда берется эта стабильность?

[psilogic.livejournal.com]

На этот вопрос ответить проще всего - достаточно посмотреть, как работает педагогика.

Изначально имеется сходство физиологии мозга, органов чувств у разных людей - и вообще сходство биологических тел.

Далее люди существуют в похожей среде - т.е. в одной вселенной, а не в разных, так что объекты, о которых им приходится мыслить, схожи или одинаковы.

Далее, для передачи мыслей друг другу люди используют общие символические системы - язык, письменность, числа, измерения, формулы.

Далее, для обучения используется сходная программа и методы, которые призваны "уравнять" реакции учеников на одинаковые стимулы.

Наконец, по окончании обучения и на промежуточных этапах выполняется контроль того, насколько реакции "уравнены", и безнадежные индивиды из обучения просто исключаются или их мнение игнорируется.

Результат всего этого - равная реакция разных индивидов на равные стимулы.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

Еще раз. Вы описываете процесс отбора из всех идей тех, которые дают стабильный результат.

А откуда они берутся? Почему один дают результат, а другие - нет?

[psilogic.livejournal.com]

Отбор - только на последнем этапе. А откуда берутся - все остальные этапы.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

То есть, у марсиан квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов?

[psilogic.livejournal.com]

У марсиан вообще может не быть такой теоремы.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

Не быть теоремы может. Но квадрат будет равен. И пи будет иметь ровно такое же значение, как только марсиане займутся землемерием.

[psilogic.livejournal.com]

[ И пи будет иметь ровно такое же значение, как только марсиане займутся землемерием. ]

Вот когда займутся - тогда и... В силу того, что мы с марсианами в одном пространстве.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

То есть, законы математики (хотя бы некоторые) вытекают из свойств "простанства". Уже прогресс. Осталось выяснить, что же это такое - "пространство".

А потом перейдем к вопросу о том, что общего у теоремы пифагора на русском, греческом, идейском и марсианском языках в разных записях.

[psilogic.livejournal.com]

[ То есть, законы математики (хотя бы некоторые) вытекают из свойств "простанства" ]

Некоторые - да, вытекают.

[ Осталось выяснить, что же это такое - "пространство". ]

Я имею в виду физическое пространство. Если бы марсиане жили на двумерной сфере, у них отношение длины окружности к радиусу получилось бы другим.

[http://users.livejournal.com/_stilgar/]

Я имею в виду физическое пространство. Если бы марсиане жили на двумерной сфере, у них отношение длины окружности к радиусу получилось бы другим.

Причем, мы можем узнать, каким именно. Откуда?

[psilogic.livejournal.com]

- пытаясь моделировать их пространство.

Но это уже, скорее, физика, а не чистая математика.

[nekroz.livejournal.com]

вот это - уже ответ
неважно, правильный или нет, мне об этом спорить (и думать сейчас) совершенно недосуг, но ответ
в отличие от того, что в посте

[psilogic.livejournal.com]

[ вот это - уже ответ ]

Который является кратким пересказом того, что в посте: "Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты"

[nekroz.livejournal.com]

ну я имел ввиду фразу про "Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками."
вот она особым содержанием не обладает, а потому вызывает закономерные нападки
с остальным я более или менее согласен, разве что нападки на философию уже давно набили оскомину и выглядят довольно толстым троллингом, ну или каким-то рефлексом, характерной особенностью автора, навроде использования мата в качестве знаков препинания

[psilogic.livejournal.com]

[ ну я имел ввиду фразу про "Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками."
вот она особым содержанием не обладает ]

И чем она принципиально отличается от фразы, которая вам понравилась больше? Напомню: "Есть стабильные, есть нестабильные, среди них отбираются те, что стабильные".

[ разве что нападки на философию уже давно набили оскомину ]

Карфаген должен быть разрушен :)

[nekroz.livejournal.com]

она хуже тем, что из нее следует, что математические идеи стабильны в силу названия
в то время как они называются так в силу стабильности

про философию - понятно, что все плохие люди должны быть убиты хорошими
но тогда и линию атаки надо строить таким образом, чтоб она наступала по фронту "хорошести", а не по фронту, который включает в себя как хороших, так и плохих
сущестувует ли огромное количество бездарных философов? конечно да, тем более, что в философии довольно просто быть бездарным
но ведь существует и огромное количество бездарных математиков, физиков, да и всех прочих
и убить надо бы их всех, тем паче, что сформулировать "линию фронта" таким образом, чтобы всех задело, не большая проблема
это, как мне кажется, лучше и последовательнее, чем говорить, что надо убить всех коричневых, а потом говорить, что некоторые из коричневых на самом деле зеленые, просто маскируются под

[psilogic.livejournal.com]

[ она хуже тем, что из нее следует, что математические идеи стабильны в силу названия
в то время как они называются так в силу стабильности ]

Тогда вы не поняли ни одну из трех формулировок. Название - это просто удобный ярлык, который вешается на то или это. В данном случае - на результат отбора идей определенного типа и людей определенного типа. Отчего так оказывается, что отобрать стабильные идеи можно - это у меня описано в посте. Отчего вообще есть из чего отбирать, т.е. почему некоторые идеи вообще стабильны - отдельный вопрос, выходящий за (предполагаемые) рамки темы, но я Стилгару выше ответил и на него тоже.

Что касается философов и математиков. Я понимаю, что есть и бездарные математики, и бездарные философы. И есть одаренные математики. А есть ли одаренные философы? Вот таких я не знаю - и в этом соль.

[nekroz.livejournal.com]

Вот таких я не знаю - и в этом соль.

причина этого в том, с какой точки зрения вы смотрите на философию
вот вы, к примеру, современный физик
необходимо ли вам знание древнегреческой философии для успешной работы? конечно, нет
полезно ли оно? вполне, как минимум дает представление о том, как развивались взгляды людей на ту же физику
знание вообще вредным редко бывает
философия решала задачи своего времени
и решала их, зачастую, вполне успешно
в настоящее время сфера философских задач переместилась из области естественных наук в область наук гуманитарных
переместилась не в том смысле, что только сейчас это сделала, а в том, что теперь уже окончательно и целиком уползла из естественных
там у нее свои задачи, в лингвистике, в антропологии, в искусствоведении
добрая половина всех работ (перечислять долго и лень) в этих дисциплинах и многих прочих написана на стыке науки и философии
просто мы уже за этими дисциплинами не столь пристально следим, вот и возникает ощущение бесполезности
а несовременная философия - это весьма немалая часть истории развития человеческой мысли, а вы же не будете утверждать, что история мысли целиком и полностью бесполезна и может быть смело выброшена на помойку только лишь потому, что не обязательна физику в своих изысканиях?

кроме того, вы любите довольно демагогический прием, суть которого в том, чтобы "одаренных" философов обьявить не философами, на основании того, что они одарены, и приписать их к кому угодно, лишь бы не к философам, несмотря на то, что именно эти люди находятся в фундаменте понятия "философии"
из примеров такого подхода сходу вспоминается "физика" аристотеля, которую вы пытались подать учебником физики, хотя она считается одной из эталонных философских работ

[psilogic.livejournal.com]

специально для таких случаев и есть эта сцылка:

http://psi-logic.shadanakar.org/psi/anti.htm

- там большая часть ваших возражений рассматривается.

кроме, разве что, "знание вообще вредным редко бывает". тут все просто: философия - как раз пример редкого вредного знания

[nekroz.livejournal.com]

ох, ну вот знаете, я тоже мог вам сказать - вот большая ленинская библиотека, там есть ответы на все ваши заблуждения
однако ж не говорю, потому что подход такой почитаю неинтересным с точки зрения ведения беседы
примерно тоже самое, что на хуй послать
я не против, чтоб вы "избранными цитатами" мне здесь отвечали, если уж вам охота эту тему обсудить, однако читать все, что вами там (и довольно тенденционзно наверняка) накоплено за много лет, мне откровенно лень
потому как это переводит нормальное человеческое общение в формат "у кого библиотека толще"
у меня толще, мне об этом спорить неинтересно

[psilogic.livejournal.com]

там не ленинская библиотека, а сравнительно короткий текст к тому же с разметкой по вопросам. вы же накидали мне сразу кучу вопросов - вы хотите по каждому их них ответов по одной фразе? или подробных обоснований? если второе - то туда. если первое - потом не жалуйтесь, что необосновано :)

[nekroz.livejournal.com]

мы с вами этот вопрос обсуждаем не первый, кажется, год и покамест все, что я наблюдаю, сводится к одному - вы не рассматриваете ничего - вообще ничего, это не только к философии относится, в историческом контексте, как последовательность идей, которые развиваются
если у вас там есть возражение на это, вы его можете мне сюда скопировать
если нет - придумать
доселе я его ни разу от вас не слышал
так вот вы (и в значительной степени я) не осведомлены о том, что делает философия сегодня
и не видите того, чем была философия вчера
просто потому, что не уделяете достаточного внимания истории
это позволительно для занятий наукой, но непозволительно для рассуждений об истории мысли
отсюда первый-же аргумент о несуществовании предмета философии
это скорее у всех прочих наук нет предмета, потому как не существует науки, которая бы не была изначально частью философии
трактат "Физика" Аристотеля - философский
более того, трактат Ньютона, который уже почти научный, еще называется «Математические начала натуральной философии», то есть 16 век на дворе, а представления о физике, как об отдельной дисциплине, все еще нет
это к вопросу о предмете философии
такое представление появилось значительно позже
значит ли это, что Ньютон туп? нет, он просто соответствует своему времени
ну а сегодня философия окучивает новые направления в лингвистике
то есть сегодня структуральная лингвистика - вполне себе наука, а еще 40 лет назад была философией и соответствующие работы того же Ролана Барта, которые по сути и породили структуральную лингвистику, считаются философскими, а не научными, хотя породили науку
сегодня лингвисту читать Барта так же обязательно, как было обязательно физику в 15 веке читать Аристотеля

[nekroz.livejournal.com]

заговорив о структурализме, я полез ликвидировать собственные пробелы в вопросе, поскольку это не мой конек
так вот, обнаружилось, что идеи структурализма не ограничились лингвистикой (это чтоб вы не могли сказать, что это лингвистика, а не философия)
они нашли отражение в математике (Николя Бурбаки), в антропологии (Леви-Стросс), психологии (Пиаже), психоанализе (Лакан)
стыдно, конечно, копипастить статью из вики, но увы, никогда доселе не интересовался структурализмом
и я не знаю, как насчет Пиаже с Лаканом - вам виднее, но Леви-Стросс в антропологии - величина первого класса
то есть мы имеет одного из основателей бесспорно научной дисциплины, в своих изысканиях опиравшегося на беспорно философские работы