psilogic | О природе математических идей и формул

Entry tags:

О природе математических идей и формул

Мой камрад

falcao очень любит пофилософствовать на тему "бытия" математических формул. Боюсь переврать его позицию, но пусть поправит, если перевру. Он считает формулы, а точнее идеи, которые эти формулы выражают, существующими объективно и независимо от людей в некотором гипотетическом мире идей - как-то так. Где-то у него была даже запись на эту тему, но яндексом не нашел, а недавно в комментах тема опять всплыла.

Понятно, что для Крокодила эта точка зрения - как красная тря... тьфу, это для быков... как толстая болонка, пришедшая на водопой.

Так давайте же покушаем вопрос: какова природа математики и математических идей?

Кому лень читать много буков, можно под катом сразу перейти к пункту "Итоговый FAQ", а если в нем что-то неясно, то уже тогда искать обоснование в середине текста (порядок вопросов в FAQ примерно совпадает с порядком обоснований в остальном тексте).

Вдарим вульгарным материализмом по тигриному гуманизму!

Я применю обычный свой метод охоты на философские идеи - то, что философы, писая кипятком, обзывают вульгарным материализмом, радикальным редукционизмом, сциентизмом и прочими страшными словами. На самом деле я даже от материализма отказываюсь, ну да философам это объяснять необязательно, пусть мыслят в привычных рамках -измов.

Любая мысль по природе - это некий процесс в мозгу, включающий в себя, по всей видимости, серии электрохимических разрядов, пробегающих от нейрона к нейрону, плюс изменения состояния самих нейронов.

Есть и другая формулировка - что мысль представляет собой сложный рефлекс. Это примерно то же самое - потому, что срабатывание сложного рефлекса в этом случае представляет собой ту самую серию электрохимических разрядов в мозгу.

Замечу, что обе формулировки объясняют, из чего сделана мысль, но не определяют, что называется мыслью (предполагаю, что это и так понятно). Что-то вроде "стол сделан из дерева", так вот, мысль сделана из электрохимических разрядов.

Теория эта не нова, ее выдвигал еще Сеченов, и до сих пор все научные данные вписываются только в такую теорию. Многим попам данная теория - как нож по горлу, многим философам - как скипидарная клизма, а для людей с Тонкой Душевной Организацией - недопустимое унижение их возвышенных представлений о себе любимых и о людях вообще ("гуманизм", как любит обзываться тот же falcao).

Существуют разные сугубо философские рассуждения на эту тему, цель которых - отгородить кое-какое пространство, где можно заниматься пустой болтовней. Философ признает, что мозг - это "субстрат" для мыслей, но вот сами мысли - это нечто... ууу... эээ... далее следуют чисто философские термины, которые по смыслу не значат ничего, как междометья ууу... и эээ... Так что эту ерунду я спокойно пропускаю.

Как получается математика

Теперь переходим к математике. Математические идеи и вообще любые идеи - это тоже мысли. Они могут быть "заархивированы" или "закодированы" в виде формул на бумаге, сохранены в памяти компа или в памяти человека, чтобы потом их можно было извлечь и повторно поюзать. Соответственно "бытие" математических идей таково: это в первую очередь мозговая активность, а во вторую - информация, записанная во внутренней и внешней памяти (включая бумагу).

Мы привыкли к тому, что в мыслях много "вкусовщины", пристрастности: то, что Васе кажется красивым, Маше кажется некрасивым - в таком роде. Но нельзя сказать, что таково свойство всего мышления. Есть идеи, мысли, утверждения, в которых пристрастности меньше или больше.

Я буду говорить о "стабильных" утверждения, обозначая такие случаи, когда многие люди приходят к одному и тому же выводу, независимо от настроения, эстетических пристрастий, симпатий и антипатий по отношению к говорящему, независимо от политических и религиозных убеждений.

Пример стабильного утверждения: если русскому человеку предложить разборчивый русский текст и попросить сказать, что тут написано - результат будет один и тот же. Если разных школьников учить таблице умножения, то большинство будет стабильно выдавать одинаковые ответы на одинаковые задачки. То же самое - если учить решать задачки по физике.

Обратите внимание: для достижения стабильности нужно предварительное обучение. Но это обучение может потерпеть неудачу - у некоторых учеников стабильности добиться не получается, в том числе и на уроках математики. Их просто объявляют детьми, не имеющими математических способностей. Таким - прямая дорога в философы. ;)

В качестве эталона стабильности берутся учителя (а те равняются на самых выдающихся математиков-профессионалов). Результаты учеников должны совпадать с тем, что выдают учителя.

Тут я предлагаю поменять местами причину и следствие. Стабильность возникает не потому, что математика обладает какими-то мистическими свойствами, а потому, что среди всех мыслей, идей, утверждений специально выбираются те, которые дают стабильные результаты, и среди людей выбирают тех, кто при работе с этими идеями дает стабильные результаты.

Ценность математики

Многие, наверное, в курсе, что в науке используется схема "модель - эксперимент". С одной стороны - некие формулы, рассуждения, числа - это модель, а с другой - результаты опытов в лабораториях или "на природе" и числа, которые получаются при измерениях приборами - это эксперимент. Модель должна совпадать с экспериментом в пределах погрешности:

модель (в голове) == /погрешность/ == эксперимент (в голове или вне головы)

Объект эксперимента чаще находится вне головы, но иногда и внутри нее - в случае, если мы занимаемся нейрофизиологией или психологией.

Математика здесь слева - в моделях. Математики занимаются тем, что делают "заготовки" для моделей, которые потом используются в науке, в инженерном деле, в торговле. Эти заготовки ценны тем, что они стабильны. Стабильность, например, гарантирует, что самолет, рассчитанный при помощи математических формул, будет летать каждый день, а не только в те дни, когда философ Брехель соглашается с концепциями философа Устобрёхова.

Так получается, что математические идеи часто оказываются полезными для моделей. В этом тоже нет загадки. Дело в том, что в современной математике более ценными считаются модели, которые дают неожиданные и разнообразные следствия (остальное называется "тривиальным"). А чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на какое-то природное явление.

Итоговый FAQ

1. Вопрос: Какова природа мысли? Ответ: мысль состоит из электрохимических процессов в мозгу.

2. Вопрос: Какова природа математической идеи? Ответ: первично - это мысль, вторично - запись мысли в памяти или на бумаге.

3. Вопрос: Почему математические идеи дают одинаковые (стабильные) результаты? Ответ: потому, что другие идеи не называют математическими, а людей, которые не способны давать одинаковые результаты в математике, не называют математиками.

4. Вопрос: Почему математика так полезна? Ответ: потому, что ее результаты стабильны, предсказуемы, а стабильность и предсказуемость очень часто требуется на практике.

5. Вопрос: Почему абстрактные математические модели так часто оказываются полезными на практике? Ответ: потому, что матеатики предпочитают модели, которые дают разнообразные следствия, а чем больше следствий, тем больше шансов, что они окажутся похожими на что-то, что есть в природе.

Flat | Top-Level Comments Only

[ не "кто-то сказал", а довольно общепринятое мнение в данной дисциплине ]

Не такое уж и общепринятое - среди технарей мнение о бесполезности философии - достаточно обычное явление.

[ я думаю, для вас не составит труда прокомментировать мне имена Лакана и Пиаже ]

Они могут быть сколько угодной яркими представителями любой философии - такие утверждения сугубо на совести философов, которым только выгодно объявлять разных знаменитых людей философами. Я даже спорить с этим особо не буду, так как да, бывает, что и умные люди ведутся - на то она и философия, она же специализируется на том, чтобы притворяться чем-то ценным (вспомните про схоластов Платона).

Вопрос в том, нужна ли их философия для психологической науки или она отрезается бритвой. Я не встречал таких случаев, когда философию нельзя отрезать бритвой от психологии.

и вот снова невнимательность к моим словам
они не представители философии, а представители психологии, на которых, по утверждению википедии, большое внимание оказал структурализм
такие товарищи есть? они известны? вам, в частности?
они в среде психологов считаются представителями "структурального" направления? уж не знаю, как оно на самом деле называется
в их работах имеется влияние философов-структуралистов?
я понятия не имею, а вы психолог, наверно, должны знать
даже не требую ссылок, поверю на слово, сомневаюсь, что вы станете лгать

и вот "нужность" она - очень странное понятие
в физике до сих пор полно "эфирников", которые считают, что СТЭ не нужна
мне больше нравится "поспособствовала развитию", ну или "внесла свежую струю", "оказала влияние", "заставила по новому взглянуть на проблему"
нужность слишком категорична, слишком непонятна, слишком по философски, если угодно, легко поставить вопрос о том, а нужна ли вообще наука и получить отрицательный ответ

[ в их работах имеется влияние философов-структуралистов?
я понятия не имею, а вы психолог, наверно, должны знать ]

И я понятия не имею :)

Пример нужности математики в физике: теория относительности использует преобразования Лоренца, преобразования Лоренца используют квадратные корни, квадратные корни - несомненно матеатика - вывод - математика (квадратные корни) нужны для физики (теории относительности).

Попробуйте так же доказать нужность философии. Что-то конкретное, а не "внесла струю" :)

Кстати, учтите, что именно я называю философией. раз уж вы не захотели читать ту ссылку, я процитирую:

"философия является имитацией мудрости, это такой стиль поведения, который позволяет притворяться умным даже тому, кто не обладает умом".

А почему все другие варианты определений отпали - придется долго рассказывать, т.к. рассматривать по каждому варианту аргументацию.

И я понятия не имею

ну, мне уже кинули ссылку на разбор, наверно так все и есть, недаром я про них ничего не слышал
впрочем, меня все больше Леви-Стросс интересует и структурализм в лингвистике с математикой

Пример нужности математики в физике: теория относительности использует преобразования Лоренца, преобразования Лоренца используют квадратные корни, квадратные корни - несомненно матеатика - вывод - математика (квадратные корни) нужны для физики (теории относительности).

ну ок, Сократ породил Платона, Платон породил Аристотеля, Аристотель родил Бэкона, Бэкон родил Ньютона, Ньютон родил Эйнштейна, и это я еще опускаю некоторые промежуточные остановки, навроде Декарта или Канта
вполне прослеживаемая приемственность

кроме того, речь шла о нужности для науки в целом, а не математики для физики

учтите, что именно я называю философией

а вот это вы очень зря, потому что уже на этом диспут можно заканчивать, в общем-то, за абсолютной бессмысленностью
"я называю машинами трехколесные повозки, а теперь докажите, что бывают четырехколесные машины. вот эта? это не машина, эти бибизика, есть еще примеры?"
так спорить бесполезно, о чем бы не шла речь, о машинах или о философии
должна быть ясность понятий, я понимаю под философией то, что ей общепризнано считается
если вы хотите называть философией то, что вам удобно - ок, но зачем об этом спорить? хоть вымирающий подвид улиток назовите философией, пространство для спора не появится

[ вполне прослеживаемая приемственность ]

Э, так не пойдет, не бойтесь конкретики, пожалуйста - что-нибудь типа квадратного корня.

[ речь шла о нужности для науки в целом, а не математики для физики ]

Вот и попробуйте нужность философии дла какой-нибудь науки, желательно - из тех, насчет которых нет сомнений, что это именно наука (с астрологией и теологией будут проблемы, ага).

[ должна быть ясность понятий, я понимаю под философией то, что ей общепризнано считается ]

Ну так мое определение не с потолка взято.
Общепризнано считается - чего только не считается.
Например, частое определение философии как науки, изучающей "наиболее общие" закономерности, разобрано вот в этом параграфе:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/anti.htm#4

Читайте остальные пункты, и поймете, что мое определение не из пальца высосано.

давайте сперва с общепризнанностью, потом с остальным
существует некое конечное множество предметов (в данном случае работ), которые общепризнано относят к философии, в частности, Платон, по поводу значимости которого вопросов у вас вроде как нет
если мы возьмем все эти работы, и попробуем вычленить у них общие черты, получим некоторое определение
про бесполезность и "псевдомудрствование" нам уже на платоне с аристотелем придется споткнуться
да, существуют работы глупые, бесполезные, но ведь и работа, очевидным образом физическая, может быть глупой и бесполезной
то есть обьединяет здесь не польза, не значимость, а тематика
есть физическая, а есть философская
философские работы обьединяет тематика "преднаучности", то есть попытка описать и сформулировать понятийный аппарат, понятийное пространство для будущей науки
до 19 века работы по философии в основном занимаются естественными науками, а после начинают переходить к гуманитарным, взять тот же структурализм
этим требованиям отвечают все успешные работы по философии, а из известных таковых (успешных) большинство

теперь можно перейти к конкретике
начну с Пифагора
это еще не философия в "традиционном" виде, слишком много мистики, но все равно имеет значение, для отслеживания преемственности
так вот Пифагор занимался понятием числа и ответом на вопрос, как так получается, что вроде бы понятие числа очевидным образом умозрительное, и в мире ему соотвествий нет, но тем не менее продуцируемые из математики истины, а она до определенного момента вся сводится к ряду натуральных чисел, абсолютно верны
ответ у него был примитивный - это все потому, что понятие числа существует на самом деле, объективно, в отрыве от человека и вообще совершенно
когда они обнаружили иррациональные числа, это настолько их шокировало, потому как подрывало веру в идеальность числа, что Гиппаса, а он то ли доказал иррациональность, то ли, по другим источникам вынес доказательство из общины на публику, так вот Гиппаса якобы скинули с корабля за это
это к вопросу о том, насколько люди раньше упрощенней воспринимали реальность

Платон идею пифагорейцев развил и ввел "понятийность" повсюду
если есть идея числа, должна быть идея всего - стола, человека и так далее
физика Аристотеля и его прочие философские (а физика на тот момент - все еще часть философии) взгляды родились в полемике с платоновским идеализмом

пропустим пару остановок, сразу к Бэкону
Бэкон развивал идеи Аристотеля о том, что такое наука и как она должна выглядеть
доказательств тьма, даже его основная книга называется "Новый органон", в дополнение к "старому", аристотелевскому

Ньютон разделял идеи Бэкона, что он с их помощью изобрел, обьяснять не надо
к слову, ближе к концу жизни Ньютон был довольно расстроен своей механикой, потому как она входила в противоречие с его философскими взглядами, его не удовлетворял "мистический" характер понятия "сила"
ну, собственно Эйнштейн от него и избавился, за ненужностью
сам Эйнштейн написал немало работ об методологии науки, в которых полемизировал с позитивистами
кстати, его "физический" спор с Махом имел философские причины, там была полемика не вокруг самой теории, а вокруг методологии, Мах был инструменталистом (и снова пример философии в физике), а Эйнштейн - нет (инструментализм - идея о том, что модели и теории не обязаны иметь физический смысл, то есть модель говорит, что есть электрон, но это лишь условность, а в реальности мы понятия не имеем, есть ли электрон)

ну и вот я вполне дошел от Пифагора к Эйнштейну, что и требовалось

про инструментализм еще дополнение
можно было бы сказать, что вот оно! - инструментализм мешал физикам, философия вредна, но увы, антиинструментализм - это тоже философское убеждение, то бишь есть вредные, есть полезные
как и теории в физике бывали вредны

Цитирую:

Философия – как вспомогательная наука?

Математика разработала очень много приемов, которые используются в точных науках и технических профессиях. Сейчас трудно представить себе физика или инженера, который совсем не использует математику в работе. В таком качестве математика присутствует в разных науках. Получается, что одна наука помогает многим другим.

Можно ли отнести философию к такому же типу наук?

Для этого надо доказать, что какие-то другие науки в самом деле не могут жить без философии или жить могут, но хуже.

Этот вопрос я исследовал, используя все ту же методику: заявлял перед апологетами философии, что она бесполезна для науки совсем, ожидая, что такое категоричное обобщение будет опровергнуто хорошими примерами. Увы, примеров не было, или же оказывались из области нормальной науки, а вовсе не философии.

Я собирался специально обсуждать здесь эту тему, но недавно мой друг показал мне замечательную книгу Стивена Вайнберга "Мечты об окончательной теории". Она есть в электронном виде в Сети. Судя по всему, автор прошел через то же, что и я: он увлекся философией в университете и имел возможность сопоставить ее с математикой и физикой. Сопоставление оказалось не в пользу философии, и кое в чем автор выражается еще категоричнее, чем я.

Так вот в этой книге в главе VII "Против философии" автор разложил по полочкам вопрос о полезности философии для науки, привел большое количество примеров. Особенно забавен случай с Эйнштейном, который сначала хвалил философа Маха, а потом горько разочаровался в его философии.

Я готов подписаться практически под каждым словом автора, поэтому просто воспроизведу некоторые наиболее хлесткие высказывания:

"Точно так же взгляды философов иногда приносили пользу физикам, но главным образом в негативном смысле, защищая их от предубеждений других философов."

И чуть дальше:

"Не я один разделяю такие взгляды - мне не известен ни один ученый, сделавший заметный вклад в развитие физики в послевоенный период, работе которого существенно помогли бы труды философов. В предыдущей главе я упоминал о том, что Вигнер назвал "непостижимой эффективностью" математики. Здесь я хочу указать на другое в равной степени удивительное явление - непостижимую неэффективность философии. Даже если в прошлом философские доктрины и оказывали какое-то полезное воздействие на ученых, влияние этих доктрин затягивалось на слишком долгое время, принося в конце концов тем больше проблем, чем дольше эти доктрины оставались в употреблении".

Таким образом вопрос о полезности философии для науки я считаю закрытым, сомневающихся отсылаю читать Вайнберга.

А вот о том, как и почему получается, что философские доктрины вредят, и как можно постигнуть эту самую непостижимую неэффективность философии – как раз этим вопросам и посвящено мое собственное повествование.

и сразу - никто здесь не говорит, что философия - наука
и это все о физике, не о лингвистике
относительно отсутсвия необходимости физику знать философию я не спорю
полезно, изучение истории развития мысли позволяет не наступать на грабли, тренирует мозг и так далее
но не необходимо

а Мах не только философ, но и физик
не из последних
вряд ли этого не знал Вайнберг, скорее не удосужились узнать вы
руководствуясь своими идеями, Мах занимался физикой и добился немалых успехов
а Эйнштейн руководствовался своими
на почве идей они и поругались

То есть, Мах у нас уже не годится как философ? Как скажете ;)))

[ и сразу - никто здесь не говорит, что философия - наука ]

А без разницы. Замените по отношению к философии слово "наука" на "область знаний".

[ относительно отсутсвия необходимости физику знать философию я не спорю ]

Ну слава те, макаронный монстр! :) Так вот и психологу оно не припеклось. И, похоже, что никому из науки и техники.

[ изучение истории развития мысли позволяет не наступать на грабли, тренирует мозг и так далее ]

Осталось это доказать :)

с каких пор "не только философ" означает "не философ"?

Замените по отношению к философии слово "наука" на "область знаний".

заменил и да, действительно, философия - область знаний

"знать философию" = знать историю философии, это действительно не необходимо, ну так и историю физики ему знать не необходимо, да и вообще добрую половину физики
иметь философские взгляды не то, чтобы необходимо, просто не иметь их невозможно, потому как в философию входят любые рассуждения, не укладывающиеся в конкретную науку
вот сейчас мы с вами какой наукой занимается? неужто физикой?

[ с каких пор "не только философ" означает "не философ"? ]

Хех, ну вы уж определитесь вам нужен Мах как образчик пользы от философии или не нужен. Если нужен - смотрите Вайнберга, если не нужен - забываем о нем, говорим о ком-то другом.

[ вот сейчас мы с вами какой наукой занимается? неужто физикой? ]

Мы с вами просто беседуем о том, о сем. Немного психологии, немного истории, немного чистой бытовухи.

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject